Kapitel 1. Natürliche Zahlen

§ 1. Axiome

Wir nehmen als gegeben an:

Eine Menge, d. h. Gesamtheit, von Dingen, natürliche Zahlen genannt, mit den nachher aufzuzählenden Eigenschaften, Axiome genannt.

Vor der Formulierung der Axiome sei einiges in bezug auf die benutzten Zeichen $=$ und $\neq$ vorangeschickt.

Kleine lateinische Buchstaben bedeuten in diesem Buch, wenn nichts anderes gesagt wird, durchweg natürliche Zahlen.

Ist $x$ gegeben und $y$ gegeben, so sind

entweder $x$ und $y$ dieselbe Zahl; das kann man auch

x = y

schreiben ( $=$ sprich: gleich);

oder $x$ und $y$ nicht dieselbe Zahl; das kann man auch

x \neq y

schreiben ( $\neq$ sprich: ungleich).

Hiernach gilt aus rein logischen Gründen:

$x = x$ für jedes $x$ .
Aus

x = y

folgt

y = x.

x = y, \quad y = z

folgt

x = z.

Eine Schreibweise wie

a = b = c = d,

mit der zunächst nur

a = b, \quad b = c, \quad c = d

gemeint ist, enthält also überdies z. B.

a = c, \quad a = d, \quad b = d.

(Entsprechend in den späteren Kapiteln.)

Von der Menge der natürlichen Zahlen nehmen wir nun an, daß sie die Eigenschaften hat:

Axiom 1: 1 ist eine natürliche Zahl.

D. h. unsere Menge ist nicht leer; sie enthält ein Ding, das 1 (sprich: Eins) heißt.

Axiom 2: Zu jedem $x$ gibt es genau eine natürliche Zahl, die der Nachfolger von $x$ heißt und mit $x'$ bezeichnet werden möge.

Bei komplizierten $x$ wird die Zahl, um deren Nachfolger es sich handelt, eingeklammert, wenn sonst ein Mißverständnis zu befürchten ist. Entsprechendes gilt im ganzen Buch bei $x + y$ , $xy$ , $x - y$ , $-x$ , $x^y$ u. dgl.

Aus

x = y

folgt also

x' = y'.

Axiom 3: Stets ist

x' \neq 1.

D. h. es gibt keine Zahl mit dem Nachfolger 1.

Axiom 4: Aus

x' = y'

folgt

x = y.

D. h. zu jeder Zahl gibt es keine oder genau eine, deren Nachfolger jene Zahl ist.

Axiom 5 (Induktionsaxiom): Es sei $\mathfrak{M}$ eine Menge natürlicher Zahlen mit den Eigenschaften:

I) 1 gehört zu $\mathfrak{M}$ .

II) Wenn $x$ zu $\mathfrak{M}$ gehört, so gehört $x'$ zu $\mathfrak{M}$ .

Dann umfaßt $\mathfrak{M}$ alle natürlichen Zahlen.

§ 2. Addition

Satz 1: Aus

x \neq y

folgt

x' \neq y'.

Beweis: Sonst wäre

x' = y',

also nach Axiom 4

x = y.

Satz 2:

x' \neq x.

Beweis: $\mathfrak{M}$ sei die Menge der $x$ , für die dies gilt.

I) Nach Axiom 1 und Axiom 3 ist

1' \neq 1;

also gehört 1 zu $\mathfrak{M}$ .

II) Ist $x$ zu $\mathfrak{M}$ gehörig, so ist

x' \neq x,

also nach Satz 1

(x')' \neq x',

also $x'$ zu $\mathfrak{M}$ gehörig.

Nach Axiom 5 umfaßt also $\mathfrak{M}$ alle natürlichen Zahlen; d. h. für jedes $x$ ist

x' \neq x.

Satz 3: Ist

x \neq 1,

so gibt es ein (also nach Axiom 4 genau ein) $u$ mit

x = u'.

Beweis: $\mathfrak{M}$ sei die Menge, die aus der Zahl 1 und denjenigen $x$ besteht, zu denen es ein solches $u$ gibt. (Von selbst ist jedes derartige

x \neq 1

nach Axiom 3.)

I) 1 gehört zu $\mathfrak{M}$ .

II) Ist $x$ zu $\mathfrak{M}$ gehörig, so ist, wenn unter $u$ die Zahl $x$ verstanden wird,

x' = u',

also $x'$ zu $\mathfrak{M}$ gehörig.

Nach Axiom 5 umfaßt also $\mathfrak{M}$ alle natürlichen Zahlen; zu jedem

x \neq 1

gibt es also ein $u$ mit

x = u'.

Satz 4, zugleich Definition 1: Auf genau eine Art läßt sich jedem Zahlenpaar $x$ , $y$ eine natürliche Zahl, $x + y$ genannt ( $+$ sprich: plus), so zuordnen, daß

$x + 1 = x'$ für jedes $x$ ,
$x + y' = (x + y)'$ für jedes $x$ und jedes $y$ .

$x + y$ heißt die Summe von $x$ und $y$ oder die durch Addition von $y$ zu $x$ entstehende Zahl.

Beweis: A) Zunächst zeigen wir, daß es bei jedem festen $x$ höchstens eine Möglichkeit gibt, $x + y$ für alle $y$ so zu definieren, daß

x + 1 = x'

und

x + y' = (x + y)' \quad \text{für jedes } y.

Es seien $a_y$ und $b_y$ für alle $y$ definiert und so beschaffen, daß

a_{y'} = (a_y)', \quad b_{y'} = (b_y)' \quad \text{für jedes } y.

$\mathfrak{M}$ sei die Menge der $y$ mit

a_y = b_y.

a_1 = x' = b_1;

1 gehört also zu $\mathfrak{M}$ .

II) Ist $y$ zu $\mathfrak{M}$ gehörig, so ist

a_y = b_y,

also nach Axiom 2

(a_y)' = (b_y)',

also

a_{y'} = (a_y)' = (b_y)' = b_{y'},

also $y'$ zu $\mathfrak{M}$ gehörig.

Daher ist $\mathfrak{M}$ die Menge aller natürlichen Zahlen; d. h. für jedes $y$ ist

a_y = b_y.

B) Wir zeigen jetzt, daß es zu jedem $x$ eine Möglichkeit gibt, $x + y$ für alle $y$ so zu definieren, daß

x + 1 = x'

und

x + y' = (x + y)' \quad \text{für jedes } y.

$\mathfrak{M}$ sei die Menge der $x$ , zu denen es eine (also nach A) genau eine) solche Möglichkeit gibt.

I) Für

x = 1

leistet

x + y = y'

das Gewünschte. Denn

x + 1 = 1' = x',

x + y' = (y')' = (x + y)'.

Also gehört 1 zu $\mathfrak{M}$ .

II) Es sei $x$ zu $\mathfrak{M}$ gehörig, also ein $x + y$ für alle $y$ vorhanden. Dann leistet

x' + y = (x + y)'

das Gewünschte bei $x'$ . Denn

x' + 1 = (x + 1)' = (x')'

und

x' + y' = (x + y')' = ((x + y)')' = (x' + y)'.

Also gehört $x'$ zu $\mathfrak{M}$ .

Daher umfaßt $\mathfrak{M}$ alle $x$ .

Satz 5 (assoziatives Gesetz der Addition):

(x + y) + z = x + (y + z).

Beweis: $x$ und $y$ seien fest, $\mathfrak{M}$ die Menge der $z$ , für die die Behauptung gilt.

(x + y) + 1 = (x + y)' = x + y' = x + (y + 1);

also gehört 1 zu $\mathfrak{M}$ .

II) $z$ gehöre zu $\mathfrak{M}$ . Dann ist

(x + y) + z = x + (y + z),

also

(x + y) + z' = ((x + y) + z)' = (x + (y + z))' = x + (y + z)' = x + (y + z'),

also $z'$ zu $\mathfrak{M}$ gehörig.

Die Behauptung gilt also für alle $z$ .

Satz 6 (kommutatives Gesetz der Addition):

x + y = y + x.

Beweis: $y$ sei fest, $\mathfrak{M}$ die Menge der $x$ , für die die Behauptung gilt.

I) Es ist

y + 1 = y'

und nach der Konstruktion beim Beweise des Satzes 4

1 + y = y',

also

1 + y = y + 1,

1 zu $\mathfrak{M}$ gehörig.

II) Ist $x$ zu $\mathfrak{M}$ gehörig, so ist

x + y = y + x,

also

(x + y)' = (y + x)' = y + x'.

Nach der Konstruktion beim Beweise des Satzes 4 ist

x' + y = (x + y)',

also

x' + y = y + x',

also $x'$ zu $\mathfrak{M}$ gehörig.

Die Behauptung gilt also für alle $x$ .

Satz 7:

y \neq x + y.

Beweis: $x$ sei fest, $\mathfrak{M}$ die Menge der $y$ , für die die Behauptung gilt.

1 \neq x + 1;

1 gehört zu $\mathfrak{M}$ .

II) Ist $y$ zu $\mathfrak{M}$ gehörig, so ist

y \neq x + y,

also

y' \neq (x + y)',

y' \neq x + y',

$y'$ zu $\mathfrak{M}$ gehörig.

Die Behauptung gilt also für alle $y$ .

Satz 8: Aus

y \neq z

folgt

x + y \neq x + z.

Beweis: Bei festen $y$ , $z$ mit

y \neq z

sei $\mathfrak{M}$ die Menge der $x$ mit

x + y \neq x + z.

y' \neq z',

1 + y \neq 1 + z;

1 gehört also zu $\mathfrak{M}$ .

II) Ist $x$ zu $\mathfrak{M}$ gehörig, so ist

x + y \neq x + z,

also

(x + y)' \neq (x + z)',

x' + y \neq x' + z,

$x'$ zu $\mathfrak{M}$ gehörig.

Also gilt die Behauptung stets.

Satz 9: Sind $x$ und $y$ gegeben, so liegt genau einer der Fälle vor:

$x = y$ .
Es gibt ein (also nach Satz 8 genau ein) $u$ mit

x = y + u.

Es gibt ein (also nach Satz 8 genau ein) $v$ mit

y = x + v.

Beweis: A) Nach Satz 7 sind 1), 2) unverträglich und 1), 3) unverträglich. Aus Satz 7 folgt auch die Unverträglichkeit von 2), 3); denn sonst wäre

x = y + u = (x + v) + u = x + (v + u) = (v + u) + x.

Also liegt höchstens einer der Fälle 1), 2), 3) vor.

B) $x$ sei fest, $\mathfrak{M}$ die Menge der $y$ , für die einer (also nach A) genau einer) der Fälle 1), 2), 3) vorliegt.

I) Für $y = 1$ ist nach Satz 3 entweder

x = 1 = y \quad \text{(Fall 1))}

oder

x = u' = 1 + u = y + u \quad \text{(Fall 2))}.

Daher gehört 1 zu $\mathfrak{M}$ .

II) Es gehöre $y$ zu $\mathfrak{M}$ . Dann ist

entweder (Fall 1) bei $y$ )

x = y,

also

y' = y + 1 = x + 1 \quad \text{(Fall 3) für } y');

oder (Fall 2) bei $y$ )

x = y + u,

also, wenn

u = 1,

x = y + 1 = y' \quad \text{(Fall 1) für } y');

wenn

u \neq 1,

nach Satz 3

u = w' = 1 + w,

x = y + (1 + w) = (y + 1) + w = y' + w \quad \text{(Fall 2) für } y');

oder (Fall 3) bei $y$ )

y = x + v,

also

y' = (x + v)' = x + v' \quad \text{(Fall 3) für } y').

Jedenfalls gehört also $y'$ zu $\mathfrak{M}$ .

Daher liegt stets einer der Fälle 1), 2), 3) vor.

§ 3. Ordnung

Definition 2: Ist

x = y + u,

so ist

x > y.

( $>$ sprich: größer als.)

Definition 3: Ist

y = x + v,

so ist

x < y.

( $<$ sprich: kleiner als.)

Satz 10: Sind $x$ , $y$ beliebig, so liegt genau einer der Fälle

x = y, \quad x > y, \quad x < y

vor.

Beweis: Satz 9, Definition 2 und Definition 3.

Satz 11: Aus

x > y

folgt

y < x.

Beweis: Beides besagt

x = y + u

bei passendem $u$ .

Satz 12: Aus

x < y

folgt

y > x.

Beweis: Beides besagt

y = x + v

bei passendem $v$ .

Definition 4:

x \geqq y

bedeutet

x > y \quad \text{oder} \quad x = y.

( $\geqq$ sprich: größer oder gleich.)

Definition 5:

x \leqq y

bedeutet

x < y \quad \text{oder} \quad x = y.

( $\leqq$ sprich: kleiner oder gleich.)

Satz 13: Aus

x \geqq y

folgt

y \leqq x.

Beweis: Satz 11.

Satz 14: Aus

x \leqq y

folgt

y \geqq x.

Beweis: Satz 12.

Satz 15 (Transitivität der Ordnung): Aus

x < y, \quad y < z

folgt

x < z.

Vorbemerkung: Aus

x > y, \quad y > z

folgt also (wegen

z < y, \quad y < x,

z < x)

x > z;

aber solche trivialerweise durch Rückwärtslesen entstehenden Wortlaute schreibe ich in der Folge nicht erst auf.

Beweis: Bei passenden $v$ , $w$ ist

y = x + v, \quad z = y + w,

also

z = (x + v) + w = x + (v + w),

x < z.

Satz 16: Aus

x \leqq y, \; y < z \quad \text{oder} \quad x < y, \; y \leqq z

folgt

x < z.

Beweis: Mit dem Gleichheitszeichen in der Voraussetzung klar; sonst durch Satz 15 erledigt.

Satz 17: Aus

x \leqq y, \quad y \leqq z

folgt

x \leqq z.

Beweis: Mit zwei Gleichheitszeichen in der Voraussetzung klar; sonst durch Satz 16 erledigt.

Nach den Sätzen 15 bis 17 ist eine Schreibweise wie

a < b \leqq c < d

gerechtfertigt; das heißt zunächst

a < b, \quad b \leqq c, \quad c < d,

enthält aber nach jenen Sätzen auch z. B.

a < c, \quad a < d, \quad b < d.

(Entsprechend in den späteren Kapiteln.)

Satz 18:

x + y > x.

Beweis:

x + y = x + y.

Satz 19: Aus

x > y \quad \text{bzw.} \quad x = y \quad \text{bzw.} \quad x < y

folgt

x + z > y + z \quad \text{bzw.} \quad x + z = y + z \quad \text{bzw.} \quad x + z < y + z.

Beweis: 1) Aus

x > y

folgt

x = y + u,

x + z = (y + u) + z = (u + y) + z = u + (y + z) = (y + z) + u,

x + z > y + z.

x = y

folgt natürlich

x + z = y + z.

x < y

folgt

y > x,

also nach 1)

y + z > x + z,

x + z < y + z.

Satz 20: Aus

x + z > y + z \quad \text{bzw.} \quad x + z = y + z \quad \text{bzw.} \quad x + z < y + z

folgt

x > y \quad \text{bzw.} \quad x = y \quad \text{bzw.} \quad x < y.

Beweis: Folgt aus Satz 19, da die drei Fälle beide Male sich ausschließen und alle Möglichkeiten erschöpfen.

Satz 21: Aus

x > y, \quad z > u

folgt

x + z > y + u.

Beweis: Nach Satz 19 ist

x + z > y + z

und

y + z = z + y > u + y = y + u,

also

x + z > y + u.

Satz 22: Aus

x \geqq y, \; z > u \quad \text{oder} \quad x > y, \; z \geqq u

folgt

x + z > y + u.

Beweis: Mit dem Gleichheitszeichen in der Voraussetzung durch Satz 19, sonst durch Satz 21 erledigt.

Satz 23: Aus

x \geqq y, \quad z \geqq u

folgt

x + z \geqq y + u.

Beweis: Mit zwei Gleichheitszeichen in der Voraussetzung klar; sonst durch Satz 22 erledigt.

Satz 24:

x \geqq 1.

Beweis: Entweder ist

x = 1

oder

x = u' = u + 1 > 1.

Satz 25: Aus

y > x

folgt

y \geqq x + 1.

Beweis:

y = x + u,

u \geqq 1,

also

y \geqq x + 1.

Satz 26: Aus

y < x + 1

folgt

y \leqq x.

Beweis: Sonst wäre

y > x,

also nach Satz 25

y \geqq x + 1.

Satz 27: In jeder nicht leeren Menge natürlicher Zahlen gibt es eine kleinste (d. h. eine, die kleiner ist als jede etwaige andere).

Beweis: $\mathfrak{N}$ sei die gegebene Menge. $\mathfrak{M}$ sei die Menge der $x$ , die $\leqq$ jeder Zahl aus $\mathfrak{N}$ sind.

1 gehört zu $\mathfrak{M}$ nach Satz 24. Nicht jedes $x$ gehört zu $\mathfrak{M}$ ; denn für jedes $y$ aus $\mathfrak{N}$ gehört $y + 1$ nicht zu $\mathfrak{M}$ , wegen

y + 1 > y.

Also gibt es in $\mathfrak{M}$ ein $m$ , so daß $m + 1$ nicht zu $\mathfrak{M}$ gehört; denn sonst müßte nach Axiom 5 jede natürliche Zahl zu $\mathfrak{M}$ gehören.

Von jenem $m$ behaupte ich, daß es $\leqq$ jedem $n$ aus $\mathfrak{N}$ ist und zu $\mathfrak{N}$ gehört. Ersteres steht schon fest. Letzteres folgt indirekt so: Wäre $m$ nicht zu $\mathfrak{N}$ gehörig, so wäre für jedes $n$ aus $\mathfrak{N}$

m < n,

also nach Satz 25

m + 1 \leqq n;

$m + 1$ würde also zu $\mathfrak{M}$ gehören, gegen das Obige.

§ 4. Multiplikation

Satz 28, zugleich Definition 6: Auf genau eine Art läßt sich jedem Zahlenpaar $x$ , $y$ eine natürliche Zahl, $x \cdot y$ genannt ( $\cdot$ sprich: mal; aber man schreibt den Punkt meist nicht), so zuordnen, daß

$x \cdot 1 = x$ für jedes $x$ ,
$x \cdot y' = x \cdot y + x$ für jedes $x$ und jedes $y$ .

$x \cdot y$ heißt das Produkt von $x$ mit $y$ oder die durch Multiplikation von $x$ mit $y$ entstehende Zahl.

Beweis (mutatis mutandis wörtlich mit dem des Satzes 4 übereinstimmend): A) Zunächst zeigen wir, daß es bei jedem festen $x$ höchstens eine Möglichkeit gibt, $xy$ für alle $y$ so zu definieren, daß

x \cdot 1 = x

und

xy' = xy + x \quad \text{für jedes } y.

Es seien $a_y$ und $b_y$ für alle $y$ definiert und so beschaffen, daß

a_1 = x, \quad b_1 = x,

a_{y'} = a_y + x, \quad b_{y'} = b_y + x \quad \text{für jedes } y.

$\mathfrak{M}$ sei die Menge der $y$ mit

a_y = b_y.

a_1 = x = b_1;

1 gehört also zu $\mathfrak{M}$ .

II) Ist $y$ zu $\mathfrak{M}$ gehörig, so ist

a_y = b_y,

also

a_{y'} = a_y + x = b_y + x = b_{y'},

also $y'$ zu $\mathfrak{M}$ gehörig.

Daher ist $\mathfrak{M}$ die Menge aller natürlichen Zahlen; d. h. für jedes $y$ ist

a_y = b_y.

B) Wir zeigen jetzt, daß es zu jedem $x$ eine Möglichkeit gibt, $xy$ für alle $y$ so zu definieren, daß

x \cdot 1 = x

und

xy' = xy + x \quad \text{für jedes } y.

$\mathfrak{M}$ sei die Menge der $x$ , zu denen es eine (also nach A) genau eine) solche Möglichkeit gibt.

I) Für

x = 1

leistet

xy = y

das Gewünschte. Denn

x \cdot 1 = 1 = x,

xy' = y' = y + 1 = xy + x.

Also gehört 1 zu $\mathfrak{M}$ .

II) Es sei $x$ zu $\mathfrak{M}$ gehörig, also ein $xy$ für alle $y$ vorhanden. Dann leistet

x'y = xy + y

das Gewünschte bei $x'$ . Denn

x' \cdot 1 = x \cdot 1 + 1 = x + 1 = x'

und

\begin{aligned} x'y' &= xy' + y' = (xy + x) + y' = xy + (x + y') = xy + (x + y)' \\ &= xy + (x' + y) = xy + (y + x') = (xy + y) + x' = x'y + x'. \end{aligned}

Also gehört $x'$ zu $\mathfrak{M}$ .

Daher umfaßt $\mathfrak{M}$ alle $x$ .

Satz 29 (kommutatives Gesetz der Multiplikation):

xy = yx.

Beweis: $y$ sei fest, $\mathfrak{M}$ die Menge der $x$ , für die die Behauptung gilt.

I) Es ist

y \cdot 1 = y

und nach der Konstruktion beim Beweise des Satzes 28

1 \cdot y = y,

also

1 \cdot y = y \cdot 1,

1 zu $\mathfrak{M}$ gehörig.

II) Ist $x$ zu $\mathfrak{M}$ gehörig, so ist

xy = yx,

also

xy + y = yx + y = yx'.

Nach der Konstruktion beim Beweise des Satzes 28 ist

x'y = xy + y,

also

x'y = yx',

also $x'$ zu $\mathfrak{M}$ gehörig.

Die Behauptung gilt also für alle $x$ .

Satz 30 (distributives Gesetz):

x(y + z) = xy + xz.

Vorbemerkung: Die aus Satz 30 und Satz 29 fließende Formel

(y + z)x = yx + zx

und ähnliche Analoga späterhin brauchen nicht besonders als Sätze formuliert oder auch nur aufgeschrieben zu werden.

Beweis: Bei festen $x$ , $y$ sei $\mathfrak{M}$ die Menge der $z$ , für die die Behauptung gilt.

x(y + 1) = xy' = xy + x = xy + x \cdot 1;

1 gehört zu $\mathfrak{M}$ .

II) Wenn $z$ zu $\mathfrak{M}$ gehört, ist

x(y + z) = xy + xz,

also

\begin{aligned} x(y + z') &= x((y + z)') = x(y + z) + x = (xy + xz) + x \\ &= xy + (xz + x) = xy + xz', \end{aligned}

also $z'$ zu $\mathfrak{M}$ gehörig.

Daher gilt die Behauptung stets.

Satz 31 (assoziatives Gesetz der Multiplikation):

(xy)z = x(yz).

Beweis: $x$ und $y$ seien fest, $\mathfrak{M}$ die Menge der $z$ , für die die Behauptung gilt.

(xy) \cdot 1 = xy = x(y \cdot 1);

also gehört 1 zu $\mathfrak{M}$ .

II) $z$ gehöre zu $\mathfrak{M}$ . Dann ist

(xy)z = x(yz),

also unter Benutzung von Satz 30

(xy)z' = (xy)z + xy = x(yz) + xy = x(yz + y) = x(yz'),

also $z'$ zu $\mathfrak{M}$ gehörig.

$\mathfrak{M}$ umfaßt also alle natürlichen Zahlen.

Satz 32: Aus

x > y \quad \text{bzw.} \quad x = y \quad \text{bzw.} \quad x < y

folgt

xz > yz \quad \text{bzw.} \quad xz = yz \quad \text{bzw.} \quad xz < yz.

Beweis: 1) Aus

x > y

folgt

x = y + u,

xz = (y + u)z = yz + uz > yz.

x = y

folgt natürlich

xz = yz.

x < y

folgt

y > x,

also nach 1)

yz > xz,

xz < yz.

Satz 33: Aus

xz > yz \quad \text{bzw.} \quad xz = yz \quad \text{bzw.} \quad xz < yz

folgt

x > y \quad \text{bzw.} \quad x = y \quad \text{bzw.} \quad x < y.

Beweis: Folgt aus Satz 32, da die drei Fälle beide Male sich ausschließen und alle Möglichkeiten erschöpfen.

Satz 34: Aus

x > y, \quad z > u

folgt

xz > yu.

Beweis: Nach Satz 32 ist

xz > yz

und

yz = zy > uy = yu,

also

xz > yu.

Satz 35: Aus

x \geqq y, \; z > u \quad \text{oder} \quad x > y, \; z \geqq u

folgt

xz > yu.

Beweis: Mit dem Gleichheitszeichen in der Voraussetzung durch Satz 32, sonst durch Satz 34 erledigt.

Satz 36: Aus

x \geqq y, \quad z \geqq u

folgt

xz \geqq yu.

Beweis: Mit zwei Gleichheitszeichen in der Voraussetzung klar; sonst durch Satz 35 erledigt.