Vorwort

Vorwort für den Lernenden.

1. Bitte lies nicht das nachstehende Vorwort für den Kenner!

2. Ich setze nur logisches Denken und die deutsche Sprache als bekannt voraus; nichts aus der Schulmathematik oder gar der höheren Mathematik.

Um Einwänden vorzubeugen: Eine Zahl, keine Zahl, zwei Fälle, alle Dinge aus einer gegebenen Gesamtheit u. a. m. sind klare Wortgebilde der deutschen Sprache. Satz 1, Satz 2, . . ., Satz 301 (desgleichen bei Axiomen, Definitionen, Kapiteln, Paragraphen) oder 1), 2) u. dgl. bei Fallunterscheidungen sind Marken, die die Sätze, Axiome, . . ., Fälle unterscheiden und bei Nachschlagungen bequemer sind, als wenn ich etwa von Satz Hellblau, Satz Dunkelblau u. dgl. redete. Bis „301" würde überhaupt die Einführung der sogenannten positiven ganzen Zahlen keine Schwierigkeit machen; die erste — in Kap. 1 überwundene — Schwierigkeit liegt in der Gesamtheit der positiven ganzen Zahlen

mit der geheimnisvollen Punktreihe hinter dem Komma (in Kap. 1 natürliche Zahlen genannt), in der Definition der mit ihnen anzustellenden Rechenoperationen und den Beweisen der zugehörigen Sätze.

Ich entwickle nacheinander alles Entsprechende in Kap. 1 für die natürlichen Zahlen, in Kap. 2 für die positiven Brüche und positiven rationalen Zahlen, in Kap. 3 für die positiven (rationalen und irrationalen) Zahlen, in Kap. 4 für die reellen Zahlen (positive, negative und Null), in Kap. 5 für die komplexen Zahlen; ich spreche also nur von solchen Zahlen, mit denen Du Dich schon in der Schule beschäftigt hast.

In diesem Sinne:

3. Bitte vergiß alles, was Du auf der Schule gelernt hast; denn Du hast es nicht gelernt.

Bitte denke bei allem an die entsprechenden Stellen des Schulpensums; denn Du hast es doch nicht vergessen.

4. Das kleine Einmaleins, bereits der Satz

kommt nicht vor; ich empfehle Dir aber als Übungsaufgabe zu Kap. 1, § 4.

zu definieren und jenen Satz zu beweisen.

5. Entschuldige, daß ich Dich duze; dies geschieht nicht nur, weil man den Leser mit „lies" und „siehe" anzureden pflegt, sondern weil dies Buch zum Teil in usum delphinarum geschrieben ist, indem meine Töchter bekanntlich (siehe E. Landau, Vorlesungen über Zahlentheorie, Bd. 1, S. V) schon mehrere Semester studieren (Chemie), schon auf der Schule Differential- und Integralrechnung gelernt zu haben glauben und heute noch nicht wissen, warum

ist.

Berlin, den 28. Dezember 1929.

Edmund Landau.

Vorwort für den Kenner.

Dies Büchlein ist eine Konzession an die (leider in der Mehrzahl befindlichen) Kollegen, welche meinen Standpunkt in der folgenden Frage nicht teilen.

Während auf der Schule naturgemäß auf strengen und lückenlosen Aufbau der Elementarmathematik verzichtet werden muß, soll der mathematische Hochschulunterricht den Hörer nicht nur mit dem Stoff und den Ergebnissen, sondern auch mit den Beweismethoden bekannt machen. Auch wer Mathematik hauptsächlich für die Anwendungen auf Physik und andere Wissenschaften lernt, also vielfach sich selbst weitere mathematische Hilfssätze zurechtlegen muß, kann auf dem betretenen Pfade nur dann sicher weiterschreiten, wenn er gehen gelernt hat, d. h. zwischen falsch und wahr, zwischen Vermutungen und Beweisen (oder, wie manche so schön sagen, zwischen unstrengen und strengen Beweisen) unterscheiden kann.

Darum finde ich es — im Anschluß an einige meiner Lehrer und Kollegen, an einige Autoren, aus deren Schriften ich geschöpft habe, und an die meisten meiner Schüler — richtig, daß der Studierende bereits im ersten Semester lernt, auf welchen als Axiomen angenommenen Grundtatsachen sich lückenlos die Analysis aufbaut und wie dieser Aufbau begonnen werden kann. Bei der Wahl der Axiome kann man bekanntlich verschieden verfahren; ich erkläre es also nicht etwa für falsch, sondern für meinem persönlichen Standpunkt fast diametral entgegengesetzt, wenn man für reelle Zahlen zahlreiche der üblichen Rechengesetze und den Dedekindschen Hauptsatz 205 der folgenden Schrift als Axiome postuliert. Gewiß beweise ich nicht die Widerspruchslosigkeit der fünf Peanoschen Axiome (weil man es nämlich nicht kann); aber jedes derselben ist offenkundig von den vorigen unabhängig. Andrerseits drängt sich bei jener erweiterten Zahl von Axiomen dem Lernenden sofort die Frage auf, ob sich nicht so manches darunter aus dem Vorangehenden beweisen (ein Schlauer würde hinzufügen: oder widerlegen) läßt; und da man seit vielen Jahrzehnten die Beweisbarkeit aller dieser Dinge kennt, ist es dem Lernenden wirklich zu gönnen, daß er die (durchweg ganz leichten) Beweise zu Beginn seines Studiums lernt.

Ich will gar nicht erst ausführlich darüber reden, daß vielfach nicht einmal der Dedekindsche Hauptsatz (oder sein gleichwertiges Surrogat bei Begründung der reellen Zahlen durch Fundamentalreihen) zugrunde gelegt wird; so daß dann Dinge wie der Mittelwertsatz der Differentialrechnung, der hierauf fußende Satz, daß eine Funktion mit in einem Intervall verschwindender Ableitung dort konstant ist, oder z. B. der Satz, daß eine beständig fallende, beschränkte Folge von Zahlen gegen einen Grenzwert strebt, ohne jeden Beweis erscheinen oder, was noch schlimmer ist, mit einem vermeintlichen Beweis, der keiner ist. Die Anzahl der Vertreter dieser extremen Spielart des anderen Standpunktes scheint mir nicht nur monoton zu fallen; sondern der Grenzwert, dem diese Anzahl nach dem oben genannten Satze zustrebt, ist vielleicht sogar Null.

Aber mit einer Begründung der natürlichen Zahlen wird nur selten angefangen. Auch ich gestehe, daß ich von jeher nicht unterließ, nach Dedekind die Theorie der reellen Zahlen durchzunehmen, früher aber die Eigenschaften der ganzen und der rationalen Zahlen voraussetzte. Die drei letzten Male zog ich allerdings vor, mit den ganzen Zahlen zu beginnen. Einmal und auch für das kommende Sommersemester als Konzession gegen die Zuhörer, die doch gleich differentiieren wollen oder gar die ganze Erläuterung des Zahlbegriffs nicht im ersten Semester (oder womöglich überhaupt nicht) lernen wollen, habe ich allerdings meine Vorlesung in zwei gleichzeitige geteilt, deren eine „Grundlagen der Analysis" hieß. In dieser gelange ich, von den Peanoschen Axiomen der natürlichen Zahlen ausgehend, bis zur Theorie der reellen Zahlen und der komplexen Zahlen; übrigens braucht der Hörer die komplexen Zahlen im ersten Semester noch nicht; aber deren Einführung ist ja ganz einfach und läßt sich mühelos gleich anbringen.

Nun gibt es in der ganzen Literatur kein Lehrbuch, das sich das bescheidene Ziel setzt, nur das Rechnen mit Zahlen im obigen Sinne zu begründen. Und auch die umfangreichen Werke, in denen dies in den einleitenden Kapiteln unternommen wird, überlassen dabei (bewußt oder unbewußt) so manches dem Leser.

Diese Schrift — wenn sie von ihm für passend befunden wird — soll jedem Kollegen der anderen pädagogischen Richtung, der also die Grundlagen nicht durchnimmt, wenigstens die Möglichkeit geben, auf eine Quelle zu verweisen, wo das Fehlende und nur das Fehlende in lückenlosem Zusammenhang dargestellt ist. Die Lektüre ist ganz leicht, wenn man — was ja der Fall ist — schon in der Schule die Ergebnisse erfahren hat und wenn man über die abstrakten vier oder fünf ersten Seiten hinweggekommen ist.

Ich trete mit Zögern mit dieser Schrift an die Öffentlichkeit, weil ich damit über ein Gebiet publiziere, in dem ich (außer einer mündlichen Mitteilung von Herrn Kalmar) nichts Neues zu sagen habe; aber ein anderer hat sich meine, zum Teil langweilige Mühe nicht gemacht.

Den definitiven Anstoß zu dieser „Flucht in die Öffentlichkeit" hat aber ein konkreter Vorfall gegeben.

Die andere Richtung meint immer, während des späteren Verlaufes des Studiums würde der Schüler an Hand einer Vorlesung oder der Literatur die Sache schon lernen. Und keiner jener meiner verehrten Freunde und Feinde würde bezweifelt haben, daß z. B. in meinen Vorlesungen sich alles Nötige findet. Auch ich glaubte das. Und nun passierte mir folgendes schreckliche Abenteuer. An Hand meines Kollegheftes las mein damaliger Assistent und lieber Kollege Privatdozent Dr. Grandjot (jetzt Professor an der Universität Santiago) über Grundlagen der Analysis und gab mir mein Manuskript mit dem Bemerken zurück, er hätte es für notwendig befunden, zu den Peanoschen Axiomen im weiteren Verlaufe andere hinzuzufügen, da der übliche Weg, den ich gegangen war, eine bestimmte Lücke aufweise. Ehe ich auf die Einzelheiten eingehe, will ich gleich vorgreifend erwähnen:

1. Grandjots Einwand war berechtigt.
2. Axiome, die nicht zu Anfang des Ganzen aufgezählt werden können (weil sie an spätere Begriffe anknüpfen), sind sehr bedauerlich.
3. Grandjots Axiome sind (wie wir schon von Dedekind hätten lernen können) alle beweisbar, und es bleibt (s. die ganze folgende Schrift) bei den Peanoschen Axiomen.

Es sind drei Stellen, an denen der Einwand Platz greift:

I. Bei der Definition von $x + y$ für natürliche Zahlen.

II. Bei der Definition von $x \cdot y$ für natürliche Zahlen.

III. Bei der Definition von $\sum_{n=1}^{m} x_n$ und $\prod_{n=1}^{m} x_n$, nachdem man für irgend ein Zahlgebiet $x + y$ und $x \cdot y$ schon hat.

Da alle drei Male die Sache analog liegt, spreche ich hier nur von $x + y$ für natürliche Zahlen $x, y$. Wenn ich etwa in einer Vorlesung über Zahlentheorie irgend einen Satz über natürliche Zahlen so beweise, daß ich erst die Richtigkeit für $1$ und dann aus der Richtigkeit für $x$ die für $x + 1$ beweise, so pflegt gelegentlich ein Zuhörer den Einwand zu erheben, ich hätte die Behauptung ja gar nicht vorher für $x$ bewiesen. Der Einwand ist unberechtigt, aber verzeihlich; der Student hatte eben nie vom Induktionsaxiom gehört. Grandjots Einwand klingt ähnlich; mit dem Unterschiede, daß er berechtigt war, so daß ich ihn auch verzeihen mußte. Auf Grund seiner fünf Axiome definiert Peano $x + y$ bei festem $x$ für alle $y$ folgendermaßen:

und er und Nachfolger meinen damit: $x + y$ ist allgemein definiert; denn die Menge der $y$, für die es definiert ist, enthält $1$ und mit $y$ auch $y'$.

Aber man hat ja $x + y$ gar nicht definiert.

Es wäre in Ordnung, wenn man (was beim Peanoschen Wege nicht der Fall ist, da die Ordnung erst nach der Addition eingeführt wird) den Begriff „Zahlen $\leqq y$" hätte und von der Menge der $y$ spräche, zu denen es ein für $z \leqq y$ definiertes $f(z)$ mit den Eigenschaften gibt:

So verläuft Dedekinds Begründung. Mit freundlicher Hilfe des Kollegen von Neumann in Princeton hatte ich nach vorheriger Einführung der Ordnung (was dem Leser nicht bequem gewesen wäre) einen derartigen Weg für dies Büchlein ausgearbeitet. In letzter Stunde erfuhr ich aber einen sehr viel einfacheren Beweis von Dr. Kalmar in Szeged; jetzt sieht die Sache so einfach und der Beweis den übrigen Beweisen des ersten Kapitels so ähnlich aus, daß auch der Kenner diese Pointe nicht gemerkt hätte, wenn ich nicht mein obiges Geständnis von Schuld und Sühne so ausführlich zu Protokoll gegeben hätte. Bei $x \cdot y$ geht es genau ebenso; $\sum_{n=1}^{m} x_n$ und $\prod_{n=1}^{m} x_n$ ist allerdings nur auf dem Dedekindschen Wege möglich; aber von Kap. 1, § 3 an hat man ja die Menge der $z \leqq y$.

Um es dem Leser möglichst leicht zu machen, habe ich manche (nicht sehr umfangreiche) Wortmengen in mehreren oder allen Kapiteln wiederholt. Für den Kenner wäre es natürlich ausreichend, z. B. ein für allemal beim Beweise der Sätze 16 und 17 zu sagen: Diese Begründung gilt für jede Klasse von Zahlen, bei denen die Zeichen $<$ und $=$ definiert sind und bestimmte vorangegangene Eigenschaften haben. Derartige wiederholte Schlußweisen betreffen Sätze, die in allen betreffenden Kapiteln vorkommen mußten, weil die Sätze im nachfolgenden angewendet wurden. Aber $\sum_{n=1}^{m} a_n$ und $\prod_{n=1}^{m} a_n$ braucht man nur im letzten Kapitel einzuführen, um es damit auch für die niederen Zahlarten zu haben. Daher warte ich damit bis zu den komplexen Zahlen, desgl. mit den Sätzen über Subtraktion und Division; erstere gelten selbstverständlich z. B. für natürliche Zahlen nur, wenn jeder Minuendus größer ist als der Subtrahendus, letztere z. B. bei natürlichen Zahlen nur, wenn alle Divisionen aufgehen.

Mein Buch ist unter Verzicht auf Nebenbemerkungen in dem unbarmherzigen Telegrammstil („Axiom", „Definition", „Satz", „Beweis", nur gelegentlich „Vorbemerkung"; selten Worte, die zu keiner dieser fünf Rubriken gehören) geschrieben, der bei einer so leichten Materie am Platz ist.

Ich hoffe, nach jahrzehntelanger Vorbereitung diese Schrift so abgefaßt zu haben, daß ein normaler Student sie in zwei Tagen lesen kann. Und dann darf er sogar (da er die formalen Regeln ja schon von der Schule her kennt) den ganzen Inhalt bis auf das Induktionsaxiom und den Dedekindschen Hauptsatz vergessen.

Wenn aber gar dem einen oder anderen Kollegen der anderen Richtung die Sache so leicht erscheint, daß er sie in seinen Anfängervorlesungen (auf dem folgenden oder irgend einem anderen Wege) bringt, würde ich ein Ziel erreicht haben, auf das ich in größerem Umfange nicht zu hoffen wage.

Berlin, den 28. Dezember 1929.

Edmund Landau.