第1章自然数

§ 1. 公理

われわれは次のものが与えられているものと仮定する。

自然数と呼ばれるものの集合、すなわち全体であって、以下に列挙する、公理と呼ばれる性質をもつもの。

公理を述べる前に、用いる記号 $=$ および $\neq$ に関していくつか前置きをしておく。

本書では、特に断らない限り、小文字のラテン文字はつねに自然数を表す。

$x$ が与えられ、 $y$ が与えられたとき、

$x$ と $y$ が同じ数であるか、この場合

x = y

と書くこともできる( $=$ は「等しい」と読む)。

または $x$ と $y$ が同じ数でないか、この場合

x \neq y

と書くこともできる( $\neq$ は「等しくない」と読む)。

これより、純粋に論理的な理由から次が成り立つ。

すべての $x$ に対して $x = x$ 。

x = y

から

y = x.

が従う。

x = y, \quad y = z

から

x = z.

が従う。

したがって、

a = b = c = d,

のような書き方は、さしあたり

a = b, \quad b = c, \quad c = d

を意味するにすぎないが、さらに例えば

a = c, \quad a = d, \quad b = d.

をも含んでいる。

(以後の章においても同様である。)

さて、自然数の集合は次の性質をもつものと仮定する。

公理 1: 1 は自然数である。

すなわち、われわれの集合は空ではない。それは 1(「いち」と読む)と呼ばれるものを含む。

公理 2: 各 $x$ に対して、 $x$ の後続者と呼ばれる自然数がちょうど一つ存在する。これを $x'$ で表すことにする。

複雑な $x$ の場合、誤解のおそれがあるときは、その後続者を考える数を括弧でくくる。同様のことは本書全体を通じて $x + y$ , $xy$ , $x - y$ , $-x$ , $x^y$ などについても成り立つ。

したがって、

x = y

から

x' = y'.

が従う。

公理 3: つねに

x' \neq 1.

すなわち、後続者が 1 であるような数は存在しない。

公理 4:

x' = y'

から

x = y.

が従う。

すなわち、各数に対して、その数を後続者とする数は存在しないか、またはちょうど一つ存在する。

公理 5(帰納法の公理): $\mathfrak{M}$ を次の性質をもつ自然数の集合とする。

I) 1 は $\mathfrak{M}$ に属する。

II) $x$ が $\mathfrak{M}$ に属するならば、 $x'$ も $\mathfrak{M}$ に属する。

このとき $\mathfrak{M}$ はすべての自然数を含む。

§ 2. 加法

定理 1:

x \neq y

から

x' \neq y'.

が従う。

証明: そうでなければ

x' = y',

となり、したがって公理 4 により

x = y.

定理 2:

x' \neq x.

証明: $\mathfrak{M}$ を、これが成り立つ $x$ の集合とする。

I) 公理 1 と公理 3 により

1' \neq 1;

したがって 1 は $\mathfrak{M}$ に属する。

II) $x$ が $\mathfrak{M}$ に属するならば、

x' \neq x,

したがって定理 1 により

(x')' \neq x',

したがって $x'$ は $\mathfrak{M}$ に属する。

よって公理 5 により $\mathfrak{M}$ はすべての自然数を含む。すなわち、すべての $x$ に対して

x' \neq x.

定理 3:

x \neq 1,

ならば、

x = u'.

となる $u$ が(したがって公理 4 によりちょうど一つ)存在する。

証明: $\mathfrak{M}$ を、数 1 と、そのような $u$ が存在する $x$ とからなる集合とする。(そのような $x$ はすべて、公理 3 により当然

x \neq 1

である。)

I) 1 は $\mathfrak{M}$ に属する。

II) $x$ が $\mathfrak{M}$ に属するならば、 $u$ として数 $x$ をとれば、

x' = u',

したがって $x'$ は $\mathfrak{M}$ に属する。

よって公理 5 により $\mathfrak{M}$ はすべての自然数を含む。すなわち、各

x \neq 1

に対して

x = u'.

となる $u$ が存在する。

定理 4、同時に定義 1: 各数の対 $x$ , $y$ に対して、 $x + y$ と呼ばれる( $+$ は「プラス」と読む)自然数を、

すべての $x$ に対して $x + 1 = x'$ 、
すべての $x$ とすべての $y$ に対して $x + y' = (x + y)'$

となるように対応させる方法が、ちょうど一つ存在する。

$x + y$ は $x$ と $y$ の和、または $x$ に $y$ を加法して得られる数と呼ばれる。

証明: A) まず、各 $x$ を固定したとき、すべての $y$ に対して $x + y$ を、

x + 1 = x'

かつ

x + y' = (x + y)' \quad (\text{任意の } y \text{ について}).

となるように定義する方法は高々一つしかないことを示す。

$a_y$ と $b_y$ がすべての $y$ に対して定義されていて、

a_{y'} = (a_y)', \quad b_{y'} = (b_y)' \quad (\text{任意の } y \text{ について}).

であるとする。

$\mathfrak{M}$ を

a_y = b_y.

となる $y$ の集合とする。

a_1 = x' = b_1;

したがって 1 は $\mathfrak{M}$ に属する。

II) $y$ が $\mathfrak{M}$ に属するならば、

a_y = b_y,

したがって公理 2 により

(a_y)' = (b_y)',

したがって

a_{y'} = (a_y)' = (b_y)' = b_{y'},

したがって $y'$ は $\mathfrak{M}$ に属する。

よって $\mathfrak{M}$ はすべての自然数の集合である。すなわち、すべての $y$ に対して

a_y = b_y.

B) 次に、各 $x$ に対して、すべての $y$ に対する $x + y$ を、

x + 1 = x'

かつ

x + y' = (x + y)' \quad (\text{任意の } y \text{ について}).

となるように定義する方法が存在することを示す。

$\mathfrak{M}$ を、そのような方法が(したがって A) によりちょうど一つ)存在する $x$ の集合とする。

x = 1

に対しては

x + y = y'

が求めるものを与える。なぜなら

x + 1 = 1' = x',

x + y' = (y')' = (x + y)'.

したがって 1 は $\mathfrak{M}$ に属する。

II) $x$ が $\mathfrak{M}$ に属するとする。すなわち、すべての $y$ に対する $x + y$ が存在するとする。このとき

x' + y = (x + y)'

が $x'$ に対して求めるものを与える。なぜなら

x' + 1 = (x + 1)' = (x')'

かつ

x' + y' = (x + y')' = ((x + y)')' = (x' + y)'.

したがって $x'$ は $\mathfrak{M}$ に属する。

よって $\mathfrak{M}$ はすべての $x$ を含む。

定理 5(加法の結合法則):

(x + y) + z = x + (y + z).

証明: $x$ と $y$ を固定し、 $\mathfrak{M}$ を、主張が成り立つ $z$ の集合とする。

(x + y) + 1 = (x + y)' = x + y' = x + (y + 1);

したがって 1 は $\mathfrak{M}$ に属する。

II) $z$ が $\mathfrak{M}$ に属するとする。このとき

(x + y) + z = x + (y + z),

したがって

(x + y) + z' = ((x + y) + z)' = (x + (y + z))' = x + (y + z)' = x + (y + z'),

したがって $z'$ は $\mathfrak{M}$ に属する。

よって主張はすべての $z$ に対して成り立つ。

定理 6(加法の交換法則):

x + y = y + x.

証明: $y$ を固定し、 $\mathfrak{M}$ を、主張が成り立つ $x$ の集合とする。

y + 1 = y'

であり、また定理 4 の証明における構成により

1 + y = y',

したがって

1 + y = y + 1,

1 は $\mathfrak{M}$ に属する。

II) $x$ が $\mathfrak{M}$ に属するならば、

x + y = y + x,

したがって

(x + y)' = (y + x)' = y + x'.

定理 4 の証明における構成により

x' + y = (x + y)',

したがって

x' + y = y + x',

したがって $x'$ は $\mathfrak{M}$ に属する。

よって主張はすべての $x$ に対して成り立つ。

定理 7:

y \neq x + y.

証明: $x$ を固定し、 $\mathfrak{M}$ を、主張が成り立つ $y$ の集合とする。

1 \neq x + 1;

1 は $\mathfrak{M}$ に属する。

II) $y$ が $\mathfrak{M}$ に属するならば、

y \neq x + y,

したがって

y' \neq (x + y)',

y' \neq x + y',

$y'$ は $\mathfrak{M}$ に属する。

よって主張はすべての $y$ に対して成り立つ。

定理 8:

y \neq z

から

x + y \neq x + z.

が従う。

証明:

y \neq z

なる $y$ , $z$ を固定し、 $\mathfrak{M}$ を

x + y \neq x + z.

となる $x$ の集合とする。

y' \neq z',

1 + y \neq 1 + z;

したがって 1 は $\mathfrak{M}$ に属する。

II) $x$ が $\mathfrak{M}$ に属するならば、

x + y \neq x + z,

したがって

(x + y)' \neq (x + z)',

x' + y \neq x' + z,

$x'$ は $\mathfrak{M}$ に属する。

よって主張はつねに成り立つ。

定理 9: $x$ と $y$ が与えられたとき、次の場合のうちちょうど一つが成り立つ。

$x = y$ 。

x = y + u.

となる $u$ が(したがって定理 8 によりちょうど一つ)存在する。

y = x + v.

となる $v$ が(したがって定理 8 によりちょうど一つ)存在する。

証明: A) 定理 7 により、1) と 2) は両立せず、1) と 3) も両立しない。2) と 3) が両立しないことも定理 7 から従う。なぜなら、そうでなければ

x = y + u = (x + v) + u = x + (v + u) = (v + u) + x.

となるからである。

よって 1), 2), 3) のうち高々一つが成り立つ。

B) $x$ を固定し、 $\mathfrak{M}$ を、1), 2), 3) のうちの一つ(したがって A) によりちょうど一つ)が成り立つ $y$ の集合とする。

I) $y = 1$ に対しては、定理 3 により、

x = 1 = y \quad \text{(場合 1))}

であるか、または

x = u' = 1 + u = y + u \quad \text{(場合 2))}.

である。

よって 1 は $\mathfrak{M}$ に属する。

II) $y$ が $\mathfrak{M}$ に属するとする。このとき、

( $y$ について場合 1) のとき)

x = y,

したがって

y' = y + 1 = x + 1 \quad (y' \text{ に対する場合 3});

であるか、または( $y$ について場合 2) のとき)

x = y + u,

したがって、

u = 1,

ならば

x = y + 1 = y' \quad (y' \text{ に対する場合 1});

u \neq 1,

ならば、定理 3 により

u = w' = 1 + w,

x = y + (1 + w) = (y + 1) + w = y' + w \quad (y' \text{ に対する場合 2});

であるか、または( $y$ について場合 3) のとき)

y = x + v,

したがって

y' = (x + v)' = x + v' \quad (y' \text{ に対する場合 3}).

である。

いずれの場合にも $y'$ は $\mathfrak{M}$ に属する。

よって、つねに 1), 2), 3) のうちの一つが成り立つ。

§ 3. 順序

定義 2:

x = y + u,

であるならば

x > y.

( $>$ は「より大きい」と読む。)

定義 3:

y = x + v,

であるならば

x < y.

( $<$ は「より小さい」と読む。)

定理 10: $x$ , $y$ が任意であるとき、

x = y, \quad x > y, \quad x < y

のうちちょうど一つの場合が成り立つ。

証明: 定理 9、定義 2 および定義 3。

定理 11:

x > y

から

y < x.

が従う。

証明: 両者とも、適当な $u$ に対して

x = y + u

であることを意味する。

定理 12:

x < y

から

y > x.

が従う。

証明: 両者とも、適当な $v$ に対して

y = x + v

であることを意味する。

定義 4:

x \geqq y

は

x > y \quad \text{または} \quad x = y.

を意味する。

( $\geqq$ は「より大きいか等しい」と読む。)

定義 5:

x \leqq y

は

x < y \quad \text{または} \quad x = y.

を意味する。

( $\leqq$ は「より小さいか等しい」と読む。)

定理 13:

x \geqq y

から

y \leqq x.

が従う。

証明: 定理 11。

定理 14:

x \leqq y

から

y \geqq x.

が従う。

証明: 定理 12。

定理 15(順序の推移律):

x < y, \quad y < z

から

x < z.

が従う。

前注:

x > y, \quad y > z

から(

z < y, \quad y < x,

z < x)

により、したがって

x > z;

が従う。しかし、このように逆向きに読むことで自明に得られる言い回しは、以後いちいち書き記さないことにする。

証明: 適当な $v$ , $w$ に対して

y = x + v, \quad z = y + w,

であり、したがって

z = (x + v) + w = x + (v + w),

x < z.

定理 16:

x \leqq y, \; y < z \quad \text{または} \quad x < y, \; y \leqq z

から

x < z.

が従う。

証明: 仮定に等号が含まれる場合は明らか。そうでない場合は定理 15 により済む。

定理 17:

x \leqq y, \quad y \leqq z

から

x \leqq z.

が従う。

証明: 仮定に二つの等号が含まれる場合は明らか。そうでない場合は定理 16 により済む。

定理 15 から 17 により、

a < b \leqq c < d

のような書き方が正当化される。これはまず

a < b, \quad b \leqq c, \quad c < d,

を意味するが、それらの定理により、例えば

a < c, \quad a < d, \quad b < d.

をも含んでいる。

(以後の章においても同様である。)

定理 18:

x + y > x.

証明:

x + y = x + y.

定理 19:

x > y \quad \text{ないし} \quad x = y \quad \text{ないし} \quad x < y

から、それぞれ

x + z > y + z \quad \text{ないし} \quad x + z = y + z \quad \text{ないし} \quad x + z < y + z.

が従う。

証明: 1)

x > y

から

x = y + u,

x + z = (y + u) + z = (u + y) + z = u + (y + z) = (y + z) + u,

x + z > y + z.

が従う。

x = y

からはもちろん

x + z = y + z.

が従う。

x < y

から

y > x,

が従い、したがって 1) により

y + z > x + z,

x + z < y + z.

定理 20:

x + z > y + z \quad \text{ないし} \quad x + z = y + z \quad \text{ないし} \quad x + z < y + z

から、それぞれ

x > y \quad \text{ないし} \quad x = y \quad \text{ないし} \quad x < y.

が従う。

証明: 定理 19 から従う。なぜなら、三つの場合はいずれの側でも互いに排反であり、すべての可能性を尽くしているからである。

定理 21:

x > y, \quad z > u

から

x + z > y + u.

が従う。

証明: 定理 19 により

x + z > y + z

であり、また

y + z = z + y > u + y = y + u,

したがって

x + z > y + u.

定理 22:

x \geqq y, \; z > u \quad \text{または} \quad x > y, \; z \geqq u

から

x + z > y + u.

が従う。

証明: 仮定に等号が含まれる場合は定理 19 により、そうでない場合は定理 21 により済む。

定理 23:

x \geqq y, \quad z \geqq u

から

x + z \geqq y + u.

が従う。

証明: 仮定に二つの等号が含まれる場合は明らか。そうでない場合は定理 22 により済む。

定理 24:

x \geqq 1.

証明:

x = 1

であるか、または

x = u' = u + 1 > 1.

である。

定理 25:

y > x

から

y \geqq x + 1.

が従う。

証明:

y = x + u,

u \geqq 1,

したがって

y \geqq x + 1.

定理 26:

y < x + 1

から

y \leqq x.

が従う。

証明: そうでなければ

y > x,

となり、したがって定理 25 により

y \geqq x + 1.

となるであろう。

定理 27: 自然数の空でない任意の集合には、最小のもの(すなわち、他のどの数よりも小さいもの)が存在する。

証明: $\mathfrak{N}$ を与えられた集合とする。 $\mathfrak{M}$ を、 $\mathfrak{N}$ に属するすべての数 $\leqq$ であるような $x$ の集合とする。

1 は定理 24 により $\mathfrak{M}$ に属する。すべての $x$ が $\mathfrak{M}$ に属するわけではない。なぜなら、 $\mathfrak{N}$ に属する各 $y$ に対して、 $y + 1$ は

y + 1 > y.

により $\mathfrak{M}$ に属さないからである。

したがって $\mathfrak{M}$ の中に、 $m + 1$ が $\mathfrak{M}$ に属さないような $m$ が存在する。なぜなら、そうでなければ公理 5 によりすべての自然数が $\mathfrak{M}$ に属さなければならないからである。

この $m$ について、それが $\mathfrak{N}$ に属するすべての $n$ に対して $\leqq$ であり、かつ $\mathfrak{N}$ に属することを主張する。前者はすでに確定している。後者は次のように背理法で従う。 $m$ が $\mathfrak{N}$ に属さないとすれば、 $\mathfrak{N}$ に属するすべての $n$ に対して

m < n,

したがって定理 25 により

m + 1 \leqq n;

すなわち $m + 1$ は $\mathfrak{M}$ に属することになり、上のことに反する。

§ 4. 乗法

定理 28、同時に定義 6: 各数の対 $x$ , $y$ に、 $x \cdot y$ と呼ばれる( $\cdot$ は「掛ける」と読む。ただし、この点はたいてい書かない)自然数を、

すべての $x$ に対して $x \cdot 1 = x$ 、
すべての $x$ とすべての $y$ に対して $x \cdot y' = x \cdot y + x$

となるように対応させる方法が、ちょうど一通り存在する。

$x \cdot y$ は $x$ と $y$ の積、または $x$ に $y$ を乗じる乗法によって生じる数と呼ばれる。

証明(必要な変更を加えれば、定理 4 の証明と逐語的に一致する): A) まず、各々の固定された $x$ に対して、すべての $y$ について

x \cdot 1 = x

かつ

xy' = xy + x \quad (\text{任意の } y \text{ について}).

となるように $xy$ を定義する方法は高々一通りしかないことを示す。

$a_y$ と $b_y$ がすべての $y$ に対して定義されていて、

a_1 = x, \quad b_1 = x,

a_{y'} = a_y + x, \quad b_{y'} = b_y + x \quad (\text{任意の } y \text{ について}).

を満たすとする。

$\mathfrak{M}$ を

a_y = b_y.

であるような $y$ の集合とする。

a_1 = x = b_1;

したがって 1 は $\mathfrak{M}$ に属する。

II) $y$ が $\mathfrak{M}$ に属するならば

a_y = b_y,

したがって

a_{y'} = a_y + x = b_y + x = b_{y'},

したがって $y'$ は $\mathfrak{M}$ に属する。

ゆえに $\mathfrak{M}$ はすべての自然数の集合である。すなわち、すべての $y$ に対して

a_y = b_y.

B) 次に、各 $x$ に対して、すべての $y$ について

x \cdot 1 = x

かつ

xy' = xy + x \quad (\text{任意の } y \text{ について}).

となるように $xy$ を定義する方法が存在することを示す。

$\mathfrak{M}$ を、そのような方法が(したがって A) により、ちょうど一通り)存在するような $x$ の集合とする。

x = 1

に対しては

xy = y

が求めるものを与える。なぜなら

x \cdot 1 = 1 = x,

xy' = y' = y + 1 = xy + x.

したがって 1 は $\mathfrak{M}$ に属する。

II) $x$ が $\mathfrak{M}$ に属するとし、したがってすべての $y$ に対する $xy$ が存在するとする。このとき

x'y = xy + y

が $x'$ に対して求めるものを与える。なぜなら

x' \cdot 1 = x \cdot 1 + 1 = x + 1 = x'

かつ

\begin{aligned} x'y' &= xy' + y' = (xy + x) + y' = xy + (x + y') = xy + (x + y)' \\ &= xy + (x' + y) = xy + (y + x') = (xy + y) + x' = x'y + x'. \end{aligned}

したがって $x'$ は $\mathfrak{M}$ に属する。

ゆえに $\mathfrak{M}$ はすべての $x$ を含む。

定理 29(乗法の交換法則):

xy = yx.

証明: $y$ を固定し、 $\mathfrak{M}$ を主張が成り立つような $x$ の集合とする。

y \cdot 1 = y

であり、また定理 28 の証明における構成により

1 \cdot y = y,

したがって

1 \cdot y = y \cdot 1,

1 は $\mathfrak{M}$ に属する。

II) $x$ が $\mathfrak{M}$ に属するならば

xy = yx,

したがって

xy + y = yx + y = yx'.

定理 28 の証明における構成により

x'y = xy + y,

したがって

x'y = yx',

したがって $x'$ は $\mathfrak{M}$ に属する。

ゆえに主張はすべての $x$ に対して成り立つ。

定理 30(分配法則):

x(y + z) = xy + xz.

前注: 定理 30 と定理 29 から流れ出る公式

(y + z)x = yx + zx

および以後の同様の類似式は、特に定理として定式化する必要も、書き記す必要すらもない。

証明: $x$ , $y$ を固定し、 $\mathfrak{M}$ を主張が成り立つような $z$ の集合とする。

x(y + 1) = xy' = xy + x = xy + x \cdot 1;

1 は $\mathfrak{M}$ に属する。

II) $z$ が $\mathfrak{M}$ に属するならば

x(y + z) = xy + xz,

したがって

\begin{aligned} x(y + z') &= x((y + z)') = x(y + z) + x = (xy + xz) + x \\ &= xy + (xz + x) = xy + xz', \end{aligned}

したがって $z'$ は $\mathfrak{M}$ に属する。

ゆえに主張は常に成り立つ。

定理 31(乗法の結合法則):

(xy)z = x(yz).

証明: $x$ と $y$ を固定し、 $\mathfrak{M}$ を主張が成り立つような $z$ の集合とする。

(xy) \cdot 1 = xy = x(y \cdot 1);

したがって 1 は $\mathfrak{M}$ に属する。

II) $z$ が $\mathfrak{M}$ に属するとする。このとき

(xy)z = x(yz),

したがって定理 30 を用いて

(xy)z' = (xy)z + xy = x(yz) + xy = x(yz + y) = x(yz'),

したがって $z'$ は $\mathfrak{M}$ に属する。

ゆえに $\mathfrak{M}$ はすべての自然数を含む。

定理 32:

x > y \quad \text{ないし} \quad x = y \quad \text{ないし} \quad x < y

から、それぞれ

xz > yz \quad \text{ないし} \quad xz = yz \quad \text{ないし} \quad xz < yz.

が従う。

証明: 1)

x > y

から

x = y + u,

xz = (y + u)z = yz + uz > yz.

が従う。

x = y

からはもちろん

xz = yz.

が従う。

x < y

から

y > x,

が従い、したがって 1) により

yz > xz,

xz < yz.

定理 33:

xz > yz \quad \text{ないし} \quad xz = yz \quad \text{ないし} \quad xz < yz

から、それぞれ

x > y \quad \text{ないし} \quad x = y \quad \text{ないし} \quad x < y.

が従う。

証明: 定理 32 から従う。なぜなら、三つの場合はいずれの側でも互いに排反であり、すべての可能性を尽くしているからである。

定理 34:

x > y, \quad z > u

から

xz > yu.

が従う。

証明: 定理 32 により

xz > yz

であり、また

yz = zy > uy = yu,

したがって

xz > yu.

定理 35:

x \geqq y, \; z > u \quad \text{または} \quad x > y, \; z \geqq u

から

xz > yu.

が従う。

証明: 仮定に等号が含まれる場合は定理 32 により、そうでない場合は定理 34 により済む。

定理 36:

x \geqq y, \quad z \geqq u

から

xz \geqq yu.

が従う。

証明: 仮定に二つの等号が含まれる場合は明らか。そうでない場合は定理 35 により済む。

第1章 自然数

§ 1. 公理

§ 2. 加法

§ 3. 順序

§ 4. 乗法

第1章自然数