Skip to content
Grundlagen der Analysis

第5章 複素数

§ 1. 定義

定義 57: 複素数とは、(定まった順序での)実数の対 Ξ1,Ξ2\Xi_1, \Xi_2 のことである。この複素数を [Ξ1,Ξ2][\Xi_1, \Xi_2] で表す。その際、[Ξ1,Ξ2][\Xi_1, \Xi_2] と [H1,H2][\mathrm{H}_1, \mathrm{H}_2] が同じ数(等しい;記号 ==)とみなされるのは、

Ξ1=H1,Ξ2=H2\Xi_1 = \mathrm{H}_1, \quad \Xi_2 = \mathrm{H}_2

であるとき、またそのときに限る。そうでないときは等しくない(相異なる;記号 ≠\neq)とみなす。

小文字のドイツ文字は一貫して複素数を表す。

したがって、任意の x\mathfrak{x} と任意の y\mathfrak{y} に対して、

x=y,x≠y\mathfrak{x} = \mathfrak{y}, \quad \mathfrak{x} \neq \mathfrak{y}

のうちのちょうど一方の場合が成り立つ。複素数においては同一性と相等性の概念が混じり合うので、次の三つの定理は自明である。

定理 206: x=x\mathfrak{x} = \mathfrak{x}.

定理 207:

x=y\mathfrak{x} = \mathfrak{y}

から

y=x.\mathfrak{y} = \mathfrak{x}.

が従う。

定理 208:

x=y,y=z\mathfrak{x} = \mathfrak{y}, \quad \mathfrak{y} = \mathfrak{z}

から

x=z.\mathfrak{x} = \mathfrak{z}.

が従う。

定義 58: n=[0,0]\mathfrak{n} = [0, 0].

定義 59: e=[1,0]\mathfrak{e} = [1, 0].

したがって文字 n\mathfrak{n} と e\mathfrak{e} は特定の複素数のために留保されたままである。

§ 2. 加法

定義 60:

x=[Ξ1,Ξ2],y=[H1,H2],\mathfrak{x} = [\Xi_1, \Xi_2], \quad \mathfrak{y} = [\mathrm{H}_1, \mathrm{H}_2],

であるとき、

x+y=[Ξ1+H1,Ξ2+H2].\mathfrak{x} + \mathfrak{y} = [\Xi_1 + \mathrm{H}_1, \Xi_2 + \mathrm{H}_2].

とする。(++ は「プラス」と読む。)x+y\mathfrak{x} + \mathfrak{y} を x\mathfrak{x} と y\mathfrak{y} の和、または x\mathfrak{x} に y\mathfrak{y} を加える加法によって得られる(複素)数という。

定理 209(加法の交換法則):

x+y=y+x.\mathfrak{x} + \mathfrak{y} = \mathfrak{y} + \mathfrak{x}.

証明: [Ξ1+H1,Ξ2+H2]=[H1+Ξ1,H2+Ξ2][\Xi_1 + \mathrm{H}_1, \Xi_2 + \mathrm{H}_2] = [\mathrm{H}_1 + \Xi_1, \mathrm{H}_2 + \Xi_2].

定理 210: x+n=x\mathfrak{x} + \mathfrak{n} = \mathfrak{x}.

証明: [Ξ1,Ξ2]+[0,0]=[Ξ1+0,Ξ2+0]=[Ξ1,Ξ2][\Xi_1, \Xi_2] + [0, 0] = [\Xi_1 + 0, \Xi_2 + 0] = [\Xi_1, \Xi_2].

定理 211(加法の結合法則):

(x+y)+z=x+(y+z).(\mathfrak{x} + \mathfrak{y}) + \mathfrak{z} = \mathfrak{x} + (\mathfrak{y} + \mathfrak{z}).

証明:

x=[Ξ1,Ξ2],y=[H1,H2],z=[Z1,Z2],\mathfrak{x} = [\Xi_1, \Xi_2], \quad \mathfrak{y} = [\mathrm{H}_1, \mathrm{H}_2], \quad \mathfrak{z} = [\mathrm{Z}_1, \mathrm{Z}_2],

であるとき、定理 186 により

(x+y)+z=[Ξ1+H1,Ξ2+H2]+[Z1,Z2]=[(Ξ1+H1)+Z1,(Ξ2+H2)+Z2]=[Ξ1+(H1+Z1),Ξ2+(H2+Z2)]=[Ξ1,Ξ2]+[H1+Z1,H2+Z2]=x+(y+z).\begin{aligned} (\mathfrak{x} + \mathfrak{y}) + \mathfrak{z} &= [\Xi_1 + \mathrm{H}_1, \Xi_2 + \mathrm{H}_2] + [\mathrm{Z}_1, \mathrm{Z}_2] = [(\Xi_1 + \mathrm{H}_1) + \mathrm{Z}_1, (\Xi_2 + \mathrm{H}_2) + \mathrm{Z}_2] \\ &= [\Xi_1 + (\mathrm{H}_1 + \mathrm{Z}_1), \Xi_2 + (\mathrm{H}_2 + \mathrm{Z}_2)] = [\Xi_1, \Xi_2] + [\mathrm{H}_1 + \mathrm{Z}_1, \mathrm{H}_2 + \mathrm{Z}_2] = \mathfrak{x} + (\mathfrak{y} + \mathfrak{z}). \end{aligned}

である。

定理 212: x,y\mathfrak{x}, \mathfrak{y} が与えられたとき、

y+u=x\mathfrak{y} + \mathfrak{u} = \mathfrak{x}

はちょうど一つの解 u\mathfrak{u} をもつ。すなわち、

x=[Ξ1,Ξ2],y=[H1,H2]\mathfrak{x} = [\Xi_1, \Xi_2], \quad \mathfrak{y} = [\mathrm{H}_1, \mathrm{H}_2]

とおけば、

u=[Ξ1−H1,Ξ2−H2].\mathfrak{u} = [\Xi_1 - \mathrm{H}_1, \Xi_2 - \mathrm{H}_2].

である。

証明: 任意の

u=[Υ1,Υ2]\mathfrak{u} = [\Upsilon_1, \Upsilon_2]

に対して

y+u=[H1+Υ1,H2+Υ2],\mathfrak{y} + \mathfrak{u} = [\mathrm{H}_1 + \Upsilon_1, \mathrm{H}_2 + \Upsilon_2],

であり、要求されるのはちょうど

H1+Υ1=Ξ1,H2+Υ2=Ξ2\mathrm{H}_1 + \Upsilon_1 = \Xi_1, \quad \mathrm{H}_2 + \Upsilon_2 = \Xi_2

であるから、定理 187 がすべてを証明する。

定義 61: 定理 212 の u\mathfrak{u} を x−y\mathfrak{x} - \mathfrak{y} と書く(−- は「マイナス」と読む)。x−y\mathfrak{x} - \mathfrak{y} は x\mathfrak{x} 引く y\mathfrak{y} の差、または x\mathfrak{x} から y\mathfrak{y} を引く減法によって得られる数ともいう。

定理 213:

x−y=n\mathfrak{x} - \mathfrak{y} = \mathfrak{n}

であるのは、

x=y.\mathfrak{x} = \mathfrak{y}.

のとき、またそのときに限る。

証明:

Ξ1−H1=Ξ2−H2=0\Xi_1 - \mathrm{H}_1 = \Xi_2 - \mathrm{H}_2 = 0

であるのは、

Ξ1=H1,Ξ2=H2.\Xi_1 = \mathrm{H}_1, \quad \Xi_2 = \mathrm{H}_2.

のとき、またそのときに限る。

定義 62: −x=n−x-\mathfrak{x} = \mathfrak{n} - \mathfrak{x}.

(左の −- は「マイナス」と読む。)

定理 214:

x=[Ξ1,Ξ2]\mathfrak{x} = [\Xi_1, \Xi_2]

に対して

−x=[−Ξ1,−Ξ2].-\mathfrak{x} = [-\Xi_1, -\Xi_2].

である。

証明: −[Ξ1,Ξ2]=[0,0]−[Ξ1,Ξ2]=[0−Ξ1,0−Ξ2]-[\Xi_1, \Xi_2] = [0, 0] - [\Xi_1, \Xi_2] = [0 - \Xi_1, 0 - \Xi_2].

定理 215: −(−x)=x-(-\mathfrak{x}) = \mathfrak{x}.

証明: 定理 177 により

−(−Ξ1)=Ξ1,−(−Ξ2)=Ξ2.-(-\Xi_1) = \Xi_1, \quad -(-\Xi_2) = \Xi_2.

定理 216: x+(−x)=n\mathfrak{x} + (-\mathfrak{x}) = \mathfrak{n}.

証明: 定理 179 により

Ξ1+(−Ξ1)=0,Ξ2+(−Ξ2)=0.\Xi_1 + (-\Xi_1) = 0, \quad \Xi_2 + (-\Xi_2) = 0.

である。

定理 217: −(x+y)=−x+(−y)-(\mathfrak{x} + \mathfrak{y}) = -\mathfrak{x} + (-\mathfrak{y}).

証明: 定理 180 により、

x=[Ξ1,Ξ2],y=[H1,H2]\mathfrak{x} = [\Xi_1, \Xi_2], \quad \mathfrak{y} = [\mathrm{H}_1, \mathrm{H}_2]

とおくと、

−(x+y)=[−(Ξ1+H1),−(Ξ2+H2)]=[−Ξ1+(−H1),−Ξ2+(−H2)]=[−Ξ1,−Ξ2]+[−H1,−H2]=−x+(−y).\begin{aligned} -(\mathfrak{x} + \mathfrak{y}) &= [-(\Xi_1 + \mathrm{H}_1), -(\Xi_2 + \mathrm{H}_2)] = [-\Xi_1 + (-\mathrm{H}_1), -\Xi_2 + (-\mathrm{H}_2)] \\ &= [-\Xi_1, -\Xi_2] + [-\mathrm{H}_1, -\mathrm{H}_2] = -\mathfrak{x} + (-\mathfrak{y}). \end{aligned}

である。

定理 218: x−y=x+(−y)\mathfrak{x} - \mathfrak{y} = \mathfrak{x} + (-\mathfrak{y}).

証明: [Ξ1−H1,Ξ2−H2]=[Ξ1,Ξ2]+[−H1,−H2][\Xi_1 - \mathrm{H}_1, \Xi_2 - \mathrm{H}_2] = [\Xi_1, \Xi_2] + [-\mathrm{H}_1, -\mathrm{H}_2].

定理 219: −(x−y)=y−x-(\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) = \mathfrak{y} - \mathfrak{x}.

証明:

−(x−y)=−(x+(−y))=−x+(−(−y))=−x+y=y+(−x)=y−x.-(\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) = -(\mathfrak{x} + (-\mathfrak{y})) = -\mathfrak{x} + (-(-\mathfrak{y})) = -\mathfrak{x} + \mathfrak{y} = \mathfrak{y} + (-\mathfrak{x}) = \mathfrak{y} - \mathfrak{x}.

§ 3. 乗法

定義 63:

x=[Ξ1,Ξ2],y=[H1,H2],\mathfrak{x} = [\Xi_1, \Xi_2], \quad \mathfrak{y} = [\mathrm{H}_1, \mathrm{H}_2],

であるとき、

x⋅y=[Ξ1H1−Ξ2H2,Ξ1H2+Ξ2H1].\mathfrak{x} \cdot \mathfrak{y} = [\Xi_1\mathrm{H}_1 - \Xi_2\mathrm{H}_2, \Xi_1\mathrm{H}_2 + \Xi_2\mathrm{H}_1].

とする。(⋅\cdot は「掛ける」と読む。ただし、この点はたいてい書かない。)x⋅y\mathfrak{x} \cdot \mathfrak{y} を x\mathfrak{x} と y\mathfrak{y} の積、または x\mathfrak{x} に y\mathfrak{y} を掛ける乗法によって得られる数という。

定理 220(乗法の交換法則):

xy=yx.\mathfrak{x}\mathfrak{y} = \mathfrak{y}\mathfrak{x}.

証明:

[Ξ1,Ξ2][H1,H2]=[Ξ1H1−Ξ2H2,Ξ1H2+Ξ2H1]=[H1Ξ1−H2Ξ2,H1Ξ2+H2Ξ1]=[H1,H2][Ξ1,Ξ2].\begin{aligned} [\Xi_1, \Xi_2][\mathrm{H}_1, \mathrm{H}_2] &= [\Xi_1\mathrm{H}_1 - \Xi_2\mathrm{H}_2, \Xi_1\mathrm{H}_2 + \Xi_2\mathrm{H}_1] \\ &= [\mathrm{H}_1\Xi_1 - \mathrm{H}_2\Xi_2, \mathrm{H}_1\Xi_2 + \mathrm{H}_2\Xi_1] = [\mathrm{H}_1, \mathrm{H}_2][\Xi_1, \Xi_2]. \end{aligned}

定理 221:

xy=n\mathfrak{x}\mathfrak{y} = \mathfrak{n}

であるのは、二つの数 x,y\mathfrak{x}, \mathfrak{y} の少なくとも一方が n\mathfrak{n} に等しいとき、またそのときに限る。

証明:

x=[Ξ1,Ξ2],y=[H1,H2].\mathfrak{x} = [\Xi_1, \Xi_2], \quad \mathfrak{y} = [\mathrm{H}_1, \mathrm{H}_2].

とする。

x=n\mathfrak{x} = \mathfrak{n}

から

Ξ1=Ξ2=0,\Xi_1 = \Xi_2 = 0, xy=[0⋅H1−0⋅H2,0⋅H2+0⋅H1]=[0,0]=n.\mathfrak{x}\mathfrak{y} = [0 \cdot \mathrm{H}_1 - 0 \cdot \mathrm{H}_2, 0 \cdot \mathrm{H}_2 + 0 \cdot \mathrm{H}_1] = [0, 0] = \mathfrak{n}.

が従う。

y=n\mathfrak{y} = \mathfrak{n}

から、定理 220 と 1) により

xy=yx=nx=n.\mathfrak{x}\mathfrak{y} = \mathfrak{y}\mathfrak{x} = \mathfrak{n}\mathfrak{x} = \mathfrak{n}.

が従う。

xy=n\mathfrak{x}\mathfrak{y} = \mathfrak{n}

から

x=n または y=n\mathfrak{x} = \mathfrak{n} \text{ または } \mathfrak{y} = \mathfrak{n}

であることを導かなければならない。そこで

y≠n,\mathfrak{y} \neq \mathfrak{n},

すなわち

H1H1+H2H2>0,\mathrm{H}_1\mathrm{H}_1 + \mathrm{H}_2\mathrm{H}_2 > 0,

と仮定してよく、

x=n,\mathfrak{x} = \mathfrak{n},

すなわち

Ξ1=Ξ2=0\Xi_1 = \Xi_2 = 0

を証明すればよい。

仮定により

Ξ1H1−Ξ2H2=0=Ξ1H2+Ξ2H1,\Xi_1\mathrm{H}_1 - \Xi_2\mathrm{H}_2 = 0 = \Xi_1\mathrm{H}_2 + \Xi_2\mathrm{H}_1,

であるから、

0=(Ξ1H1−Ξ2H2)H1+(Ξ1H2+Ξ2H1)H2=((Ξ1H1)H1−(Ξ2H2)H1)+((Ξ1H2)H2+(Ξ2H1)H2)=(Ξ1(H1H1)−Ξ2(H2H1))+(Ξ1(H2H2)+Ξ2(H1H2))=((Ξ1(H1H1)−Ξ2(H2H1))+Ξ2(H1H2))+Ξ1(H2H2)=Ξ1(H1H1)+Ξ1(H2H2)=Ξ1(H1H1+H2H2),\begin{aligned} 0 &= (\Xi_1\mathrm{H}_1 - \Xi_2\mathrm{H}_2)\mathrm{H}_1 + (\Xi_1\mathrm{H}_2 + \Xi_2\mathrm{H}_1)\mathrm{H}_2 \\ &= ((\Xi_1\mathrm{H}_1)\mathrm{H}_1 - (\Xi_2\mathrm{H}_2)\mathrm{H}_1) + ((\Xi_1\mathrm{H}_2)\mathrm{H}_2 + (\Xi_2\mathrm{H}_1)\mathrm{H}_2) \\ &= (\Xi_1(\mathrm{H}_1\mathrm{H}_1) - \Xi_2(\mathrm{H}_2\mathrm{H}_1)) + (\Xi_1(\mathrm{H}_2\mathrm{H}_2) + \Xi_2(\mathrm{H}_1\mathrm{H}_2)) \\ &= ((\Xi_1(\mathrm{H}_1\mathrm{H}_1) - \Xi_2(\mathrm{H}_2\mathrm{H}_1)) + \Xi_2(\mathrm{H}_1\mathrm{H}_2)) + \Xi_1(\mathrm{H}_2\mathrm{H}_2) \\ &= \Xi_1(\mathrm{H}_1\mathrm{H}_1) + \Xi_1(\mathrm{H}_2\mathrm{H}_2) = \Xi_1(\mathrm{H}_1\mathrm{H}_1 + \mathrm{H}_2\mathrm{H}_2), \end{aligned}

したがって

Ξ1=0,\Xi_1 = 0, Ξ2H2=0=Ξ2H1.\Xi_2\mathrm{H}_2 = 0 = \Xi_2\mathrm{H}_1.

である。H1\mathrm{H}_1 と H2\mathrm{H}_2 は両方とも 00 ではないから、したがって

Ξ2=0.\Xi_2 = 0.

である。

定理 222: xe=x\mathfrak{x}\mathfrak{e} = \mathfrak{x}.

証明: [Ξ1,Ξ2][1,0]=[Ξ1⋅1−Ξ2⋅0,Ξ1⋅0+Ξ2⋅1]=[Ξ1,Ξ2][\Xi_1, \Xi_2][1, 0] = [\Xi_1 \cdot 1 - \Xi_2 \cdot 0, \Xi_1 \cdot 0 + \Xi_2 \cdot 1] = [\Xi_1, \Xi_2].

定理 223: x(−e)=−x\mathfrak{x}(-\mathfrak{e}) = -\mathfrak{x}.

証明:

[Ξ1,Ξ2][−1,0]=[Ξ1(−1)−Ξ2⋅0,Ξ1⋅0+Ξ2(−1)]=[−Ξ1,−Ξ2].[\Xi_1, \Xi_2][-1, 0] = [\Xi_1(-1) - \Xi_2 \cdot 0, \Xi_1 \cdot 0 + \Xi_2(-1)] = [-\Xi_1, -\Xi_2].

定理 224: (−x)y=x(−y)=−(xy)(-\mathfrak{x})\mathfrak{y} = \mathfrak{x}(-\mathfrak{y}) = -(\mathfrak{x}\mathfrak{y}).

証明: 1)

[−Ξ1,−Ξ2][H1,H2]=[(−Ξ1)H1−(−Ξ2)H2,(−Ξ1)H2+(−Ξ2)H1]=[−(Ξ1H1)+Ξ2H2,−(Ξ1H2)−Ξ2H1]=[−(Ξ1H1−Ξ2H2),−(Ξ1H2+Ξ2H1)]=−([Ξ1,Ξ2][H1,H2]),\begin{aligned} [-\Xi_1, -\Xi_2][\mathrm{H}_1, \mathrm{H}_2] &= [(-\Xi_1)\mathrm{H}_1 - (-\Xi_2)\mathrm{H}_2, (-\Xi_1)\mathrm{H}_2 + (-\Xi_2)\mathrm{H}_1] \\ &= [-(\Xi_1\mathrm{H}_1) + \Xi_2\mathrm{H}_2, -(\Xi_1\mathrm{H}_2) - \Xi_2\mathrm{H}_1] \\ &= [-(\Xi_1\mathrm{H}_1 - \Xi_2\mathrm{H}_2), -(\Xi_1\mathrm{H}_2 + \Xi_2\mathrm{H}_1)] \\ &= -([\Xi_1, \Xi_2][\mathrm{H}_1, \mathrm{H}_2]), \end{aligned} (−x)y=−(xy).(-\mathfrak{x})\mathfrak{y} = -(\mathfrak{x}\mathfrak{y}).
    1. により
x(−y)=(−y)x=−(yx)=−(xy).\mathfrak{x}(-\mathfrak{y}) = (-\mathfrak{y})\mathfrak{x} = -(\mathfrak{y}\mathfrak{x}) = -(\mathfrak{x}\mathfrak{y}).

である。

定理 225: (−x)(−y)=xy(-\mathfrak{x})(-\mathfrak{y}) = \mathfrak{x}\mathfrak{y}.

証明: 定理 224 により

(−x)(−y)=x(−(−y))=xy.(-\mathfrak{x})(-\mathfrak{y}) = \mathfrak{x}(-(-\mathfrak{y})) = \mathfrak{x}\mathfrak{y}.

である。

定理 226(乗法の結合法則):

(xy)z=x(yz).(\mathfrak{x}\mathfrak{y})\mathfrak{z} = \mathfrak{x}(\mathfrak{y}\mathfrak{z}).

証明: この証明では、見やすさのため例外的に略記として

(Ξ+H)+Z=Ξ+H+Z,(\Xi + \mathrm{H}) + \mathrm{Z} = \Xi + \mathrm{H} + \mathrm{Z}, (ΞH)Z=ΞHZ(\Xi\mathrm{H})\mathrm{Z} = \Xi\mathrm{H}\mathrm{Z}

とおく。したがって

Ξ+(H+Z)=Ξ+H+Z,\Xi + (\mathrm{H} + \mathrm{Z}) = \Xi + \mathrm{H} + \mathrm{Z}, Ξ(HZ)=ΞHZ\Xi(\mathrm{H}\mathrm{Z}) = \Xi\mathrm{H}\mathrm{Z}

でもある。

x=[Ξ1,Ξ2],y=[H1,H2],z=[Z1,Z2]\mathfrak{x} = [\Xi_1, \Xi_2], \quad \mathfrak{y} = [\mathrm{H}_1, \mathrm{H}_2], \quad \mathfrak{z} = [\mathrm{Z}_1, \mathrm{Z}_2]

とおく。このとき

(xy)z=[Ξ1H1−Ξ2H2,Ξ1H2+Ξ2H1][Z1,Z2]=[(Ξ1H1−Ξ2H2)Z1−(Ξ1H2+Ξ2H1)Z2,(Ξ1H1−Ξ2H2)Z2+(Ξ1H2+Ξ2H1)Z1]=[(Ξ1H1Z1−Ξ2H2Z1)−(Ξ1H2Z2+Ξ2H1Z2),(Ξ1H1Z2−Ξ2H2Z2)+(Ξ1H2Z1+Ξ2H1Z1)]=[(Ξ1H1Z1+(−(Ξ2H2Z1)))+(−(Ξ1H2Z2+Ξ2H1Z2)),(Ξ1H2Z1+Ξ2H1Z1)+(Ξ1H1Z2+(−(Ξ2H2Z2)))]=[Ξ1H1Z1−(Ξ2H2Z1+Ξ1H2Z2+Ξ2H1Z2),(Ξ1H2Z1+Ξ2H1Z1+Ξ1H1Z2)−Ξ2H2Z2].\begin{aligned} (\mathfrak{x}\mathfrak{y})\mathfrak{z} &= [\Xi_1\mathrm{H}_1 - \Xi_2\mathrm{H}_2, \Xi_1\mathrm{H}_2 + \Xi_2\mathrm{H}_1][\mathrm{Z}_1, \mathrm{Z}_2] \\ &= [(\Xi_1\mathrm{H}_1 - \Xi_2\mathrm{H}_2)\mathrm{Z}_1 - (\Xi_1\mathrm{H}_2 + \Xi_2\mathrm{H}_1)\mathrm{Z}_2, (\Xi_1\mathrm{H}_1 - \Xi_2\mathrm{H}_2)\mathrm{Z}_2 + (\Xi_1\mathrm{H}_2 + \Xi_2\mathrm{H}_1)\mathrm{Z}_1] \\ &= [(\Xi_1\mathrm{H}_1\mathrm{Z}_1 - \Xi_2\mathrm{H}_2\mathrm{Z}_1) - (\Xi_1\mathrm{H}_2\mathrm{Z}_2 + \Xi_2\mathrm{H}_1\mathrm{Z}_2), (\Xi_1\mathrm{H}_1\mathrm{Z}_2 - \Xi_2\mathrm{H}_2\mathrm{Z}_2) + (\Xi_1\mathrm{H}_2\mathrm{Z}_1 + \Xi_2\mathrm{H}_1\mathrm{Z}_1)] \\ &= [(\Xi_1\mathrm{H}_1\mathrm{Z}_1 + (-(\Xi_2\mathrm{H}_2\mathrm{Z}_1))) + (-(\Xi_1\mathrm{H}_2\mathrm{Z}_2 + \Xi_2\mathrm{H}_1\mathrm{Z}_2)), (\Xi_1\mathrm{H}_2\mathrm{Z}_1 + \Xi_2\mathrm{H}_1\mathrm{Z}_1) + (\Xi_1\mathrm{H}_1\mathrm{Z}_2 + (-(\Xi_2\mathrm{H}_2\mathrm{Z}_2)))] \\ &= [\Xi_1\mathrm{H}_1\mathrm{Z}_1 - (\Xi_2\mathrm{H}_2\mathrm{Z}_1 + \Xi_1\mathrm{H}_2\mathrm{Z}_2 + \Xi_2\mathrm{H}_1\mathrm{Z}_2), (\Xi_1\mathrm{H}_2\mathrm{Z}_1 + \Xi_2\mathrm{H}_1\mathrm{Z}_1 + \Xi_1\mathrm{H}_1\mathrm{Z}_2) - \Xi_2\mathrm{H}_2\mathrm{Z}_2]. \end{aligned}

である。

x(yz)=(yz)x\mathfrak{x}(\mathfrak{y}\mathfrak{z}) = (\mathfrak{y}\mathfrak{z})\mathfrak{x}

であるから、文字の入れ替え(Ξ\Xi の代わりに H\mathrm{H}、H\mathrm{H} の代わりに Z\mathrm{Z}、Z\mathrm{Z} の代わりに Ξ\Xi)によって

x(yz)=[H1Z1Ξ1−(H2Z2Ξ1+H1Z2Ξ2+H2Z1Ξ2),(H1Z2Ξ1+H2Z1Ξ1+H1Z1Ξ2)−H2Z2Ξ2].\mathfrak{x}(\mathfrak{y}\mathfrak{z}) = [\mathrm{H}_1\mathrm{Z}_1\Xi_1 - (\mathrm{H}_2\mathrm{Z}_2\Xi_1 + \mathrm{H}_1\mathrm{Z}_2\Xi_2 + \mathrm{H}_2\mathrm{Z}_1\Xi_2), (\mathrm{H}_1\mathrm{Z}_2\Xi_1 + \mathrm{H}_2\mathrm{Z}_1\Xi_1 + \mathrm{H}_1\mathrm{Z}_1\Xi_2) - \mathrm{H}_2\mathrm{Z}_2\Xi_2].

が得られる。

ΞHZ=Ξ(HZ)=(HZ)Ξ=HZΞ,\Xi\mathrm{H}\mathrm{Z} = \Xi(\mathrm{H}\mathrm{Z}) = (\mathrm{H}\mathrm{Z})\Xi = \mathrm{H}\mathrm{Z}\Xi, Ξ+H+Z=Ξ+(H+Z)=(H+Z)+Ξ=H+Z+Ξ\Xi + \mathrm{H} + \mathrm{Z} = \Xi + (\mathrm{H} + \mathrm{Z}) = (\mathrm{H} + \mathrm{Z}) + \Xi = \mathrm{H} + \mathrm{Z} + \Xi

であるから、計算し終えた両式を見比べて

(xy)z=x(yz).(\mathfrak{x}\mathfrak{y})\mathfrak{z} = \mathfrak{x}(\mathfrak{y}\mathfrak{z}).

がわかる。

定理 227(分配法則):

x(y+z)=xy+xz.\mathfrak{x}(\mathfrak{y} + \mathfrak{z}) = \mathfrak{x}\mathfrak{y} + \mathfrak{x}\mathfrak{z}.

証明:

[Ξ1,Ξ2]([H1,H2]+[Z1,Z2])=[Ξ1,Ξ2][H1+Z1,H2+Z2]=[Ξ1(H1+Z1)−Ξ2(H2+Z2),Ξ1(H2+Z2)+Ξ2(H1+Z1)]=[(Ξ1H1+Ξ1Z1)+(−(Ξ2H2)+(−(Ξ2Z2))),(Ξ1H2+Ξ1Z2)+(Ξ2H1+Ξ2Z1)]=[(Ξ1H1−Ξ2H2)+(Ξ1Z1−Ξ2Z2),(Ξ1H2+Ξ2H1)+(Ξ1Z2+Ξ2Z1)]=[Ξ1H1−Ξ2H2,Ξ1H2+Ξ2H1]+[Ξ1Z1−Ξ2Z2,Ξ1Z2+Ξ2Z1]=[Ξ1,Ξ2][H1,H2]+[Ξ1,Ξ2][Z1,Z2].\begin{aligned} [\Xi_1, \Xi_2]([\mathrm{H}_1, \mathrm{H}_2] + [\mathrm{Z}_1, \mathrm{Z}_2]) &= [\Xi_1, \Xi_2][\mathrm{H}_1 + \mathrm{Z}_1, \mathrm{H}_2 + \mathrm{Z}_2] \\ &= [\Xi_1(\mathrm{H}_1 + \mathrm{Z}_1) - \Xi_2(\mathrm{H}_2 + \mathrm{Z}_2), \Xi_1(\mathrm{H}_2 + \mathrm{Z}_2) + \Xi_2(\mathrm{H}_1 + \mathrm{Z}_1)] \\ &= [(\Xi_1\mathrm{H}_1 + \Xi_1\mathrm{Z}_1) + (-(\Xi_2\mathrm{H}_2) + (-(\Xi_2\mathrm{Z}_2))), (\Xi_1\mathrm{H}_2 + \Xi_1\mathrm{Z}_2) + (\Xi_2\mathrm{H}_1 + \Xi_2\mathrm{Z}_1)] \\ &= [(\Xi_1\mathrm{H}_1 - \Xi_2\mathrm{H}_2) + (\Xi_1\mathrm{Z}_1 - \Xi_2\mathrm{Z}_2), (\Xi_1\mathrm{H}_2 + \Xi_2\mathrm{H}_1) + (\Xi_1\mathrm{Z}_2 + \Xi_2\mathrm{Z}_1)] \\ &= [\Xi_1\mathrm{H}_1 - \Xi_2\mathrm{H}_2, \Xi_1\mathrm{H}_2 + \Xi_2\mathrm{H}_1] + [\Xi_1\mathrm{Z}_1 - \Xi_2\mathrm{Z}_2, \Xi_1\mathrm{Z}_2 + \Xi_2\mathrm{Z}_1] \\ &= [\Xi_1, \Xi_2][\mathrm{H}_1, \mathrm{H}_2] + [\Xi_1, \Xi_2][\mathrm{Z}_1, \mathrm{Z}_2]. \end{aligned}

定理 228: x(y−z)=xy−xz\mathfrak{x}(\mathfrak{y} - \mathfrak{z}) = \mathfrak{x}\mathfrak{y} - \mathfrak{x}\mathfrak{z}.

証明:

x(y−z)=x(y+(−z))=xy+x(−z)=xy+(−(xz))=xy−xz.\mathfrak{x}(\mathfrak{y} - \mathfrak{z}) = \mathfrak{x}(\mathfrak{y} + (-\mathfrak{z})) = \mathfrak{x}\mathfrak{y} + \mathfrak{x}(-\mathfrak{z}) = \mathfrak{x}\mathfrak{y} + (-(\mathfrak{x}\mathfrak{z})) = \mathfrak{x}\mathfrak{y} - \mathfrak{x}\mathfrak{z}.

定理 229: 方程式

yu=x,\mathfrak{y}\mathfrak{u} = \mathfrak{x},

(ここで x,y\mathfrak{x}, \mathfrak{y} は与えられており、

y≠n\mathfrak{y} \neq \mathfrak{n}

である)は、ちょうど一つの解 u\mathfrak{u} をもつ。

証明: 1) 解は高々一つである。なぜなら、

yu1=x=yu2\mathfrak{y}\mathfrak{u}_1 = \mathfrak{x} = \mathfrak{y}\mathfrak{u}_2

から

n=yu1−yu2=y(u1−u2),\mathfrak{n} = \mathfrak{y}\mathfrak{u}_1 - \mathfrak{y}\mathfrak{u}_2 = \mathfrak{y}(\mathfrak{u}_1 - \mathfrak{u}_2),

が従い、したがって定理 221 により

n=u1−u2,\mathfrak{n} = \mathfrak{u}_1 - \mathfrak{u}_2, u1=u2.\mathfrak{u}_1 = \mathfrak{u}_2.

となるからである。

y=[H1,H2],\mathfrak{y} = [\mathrm{H}_1, \mathrm{H}_2],

とすると、

H=H1H1+H2H2>0,\mathrm{H} = \mathrm{H}_1\mathrm{H}_1 + \mathrm{H}_2\mathrm{H}_2 > 0,

であり、

u=[H1H,−H2H]x\mathfrak{u} = \left[\frac{\mathrm{H}_1}{\mathrm{H}}, -\frac{\mathrm{H}_2}{\mathrm{H}}\right]\mathfrak{x}

は、

yu=([H1,H2][H1H,−H2H])x=[H1H1+H2H2H,−(H1H2)+H2H1H]x=[1,0]x=ex=x.\mathfrak{y}\mathfrak{u} = \left([\mathrm{H}_1, \mathrm{H}_2]\left[\frac{\mathrm{H}_1}{\mathrm{H}}, -\frac{\mathrm{H}_2}{\mathrm{H}}\right]\right)\mathfrak{x} = \left[\frac{\mathrm{H}_1\mathrm{H}_1 + \mathrm{H}_2\mathrm{H}_2}{\mathrm{H}}, \frac{-(\mathrm{H}_1\mathrm{H}_2) + \mathrm{H}_2\mathrm{H}_1}{\mathrm{H}}\right]\mathfrak{x} = [1, 0]\mathfrak{x} = \mathfrak{e}\mathfrak{x} = \mathfrak{x}.

であるから一つの解である。

定義 64: 定理 229 の u\mathfrak{u} を xy\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}} と書く(x\mathfrak{x} 割る y\mathfrak{y} と読む)。xy\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}} は x\mathfrak{x} を y\mathfrak{y} で割った商、または x\mathfrak{x} を y\mathfrak{y} で割る除法によって得られる数ともいう。

§ 4. 減法

定理 230:

(x−y)+y=x.(\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) + \mathfrak{y} = \mathfrak{x}.

証明:

(x−y)+y=y+(x−y)=x.(\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) + \mathfrak{y} = \mathfrak{y} + (\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) = \mathfrak{x}.

定理 231:

(x+y)−y=x.(\mathfrak{x} + \mathfrak{y}) - \mathfrak{y} = \mathfrak{x}.

証明:

y+x=x+y.\mathfrak{y} + \mathfrak{x} = \mathfrak{x} + \mathfrak{y}.

定理 232:

x−(x−y)=y.\mathfrak{x} - (\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) = \mathfrak{y}.

証明:

(x−y)+y=x.(\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) + \mathfrak{y} = \mathfrak{x}.

定理 233: (x−y)−z=x−(y+z)(\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) - \mathfrak{z} = \mathfrak{x} - (\mathfrak{y} + \mathfrak{z}).

証明:

(y+z)+((x−y)−z)=((x−y)−z)+(z+y)=(((x−y)−z)+z)+y=(x−y)+y=x.\begin{aligned} (\mathfrak{y} + \mathfrak{z}) + ((\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) - \mathfrak{z}) &= ((\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) - \mathfrak{z}) + (\mathfrak{z} + \mathfrak{y}) \\ &= (((\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) - \mathfrak{z}) + \mathfrak{z}) + \mathfrak{y} = (\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) + \mathfrak{y} = \mathfrak{x}. \end{aligned}

定理 234: (x+y)−z=x+(y−z)(\mathfrak{x} + \mathfrak{y}) - \mathfrak{z} = \mathfrak{x} + (\mathfrak{y} - \mathfrak{z}).

証明:

(x+(y−z))+z=x+((y−z)+z)=x+y.(\mathfrak{x} + (\mathfrak{y} - \mathfrak{z})) + \mathfrak{z} = \mathfrak{x} + ((\mathfrak{y} - \mathfrak{z}) + \mathfrak{z}) = \mathfrak{x} + \mathfrak{y}.

定理 235: (x−y)+z=x−(y−z)(\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) + \mathfrak{z} = \mathfrak{x} - (\mathfrak{y} - \mathfrak{z}).

証明:

((x−y)+z)+(y−z)=(x−y)+(z+(y−z))=(x−y)+y=x.((\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) + \mathfrak{z}) + (\mathfrak{y} - \mathfrak{z}) = (\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) + (\mathfrak{z} + (\mathfrak{y} - \mathfrak{z})) = (\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) + \mathfrak{y} = \mathfrak{x}.

定理 236: (x+z)−(y+z)=x−y(\mathfrak{x} + \mathfrak{z}) - (\mathfrak{y} + \mathfrak{z}) = \mathfrak{x} - \mathfrak{y}.

証明:

(x−y)+(y+z)=((x−y)+y)+z=x+z.(\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) + (\mathfrak{y} + \mathfrak{z}) = ((\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) + \mathfrak{y}) + \mathfrak{z} = \mathfrak{x} + \mathfrak{z}.

定理 237: (x−y)+(z−u)=(x+z)−(y+u)(\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) + (\mathfrak{z} - \mathfrak{u}) = (\mathfrak{x} + \mathfrak{z}) - (\mathfrak{y} + \mathfrak{u}).

証明:

((x−y)+(z−u))+(y+u)=(x−y)+((z−u)+(u+y))=(x−y)+(((z−u)+u)+y)=(x−y)+(z+y)=(x−y)+(y+z)=((x−y)+y)+z=x+z.\begin{aligned} ((\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) + (\mathfrak{z} - \mathfrak{u})) + (\mathfrak{y} + \mathfrak{u}) &= (\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) + ((\mathfrak{z} - \mathfrak{u}) + (\mathfrak{u} + \mathfrak{y})) \\ &= (\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) + (((\mathfrak{z} - \mathfrak{u}) + \mathfrak{u}) + \mathfrak{y}) = (\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) + (\mathfrak{z} + \mathfrak{y}) = (\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) + (\mathfrak{y} + \mathfrak{z}) \\ &= ((\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) + \mathfrak{y}) + \mathfrak{z} = \mathfrak{x} + \mathfrak{z}. \end{aligned}

定理 238: (x−y)−(z−u)=(x+u)−(y+z)(\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) - (\mathfrak{z} - \mathfrak{u}) = (\mathfrak{x} + \mathfrak{u}) - (\mathfrak{y} + \mathfrak{z}).

証明: 定理 237 と定理 236 により

((x+u)−(y+z))+(z−u)=((x+u)+z)−((y+z)+u)=(x+(u+z))−(y+(z+u))=x−y.\begin{aligned} ((\mathfrak{x} + \mathfrak{u}) - (\mathfrak{y} + \mathfrak{z})) + (\mathfrak{z} - \mathfrak{u}) &= ((\mathfrak{x} + \mathfrak{u}) + \mathfrak{z}) - ((\mathfrak{y} + \mathfrak{z}) + \mathfrak{u}) \\ &= (\mathfrak{x} + (\mathfrak{u} + \mathfrak{z})) - (\mathfrak{y} + (\mathfrak{z} + \mathfrak{u})) = \mathfrak{x} - \mathfrak{y}. \end{aligned}

定理 239:

x−y=z−u\mathfrak{x} - \mathfrak{y} = \mathfrak{z} - \mathfrak{u}

であるのは、

x+u=y+z.\mathfrak{x} + \mathfrak{u} = \mathfrak{y} + \mathfrak{z}.

のとき、またそのときに限る。

証明: 定理 213 と定理 238。

§ 5. 除法

定理 240:

y≠n,\mathfrak{y} \neq \mathfrak{n},

ならば

xy y=x.\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}\,\mathfrak{y} = \mathfrak{x}.

証明:

xy y=y xy=x.\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}\,\mathfrak{y} = \mathfrak{y}\,\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}} = \mathfrak{x}.

定理 241:

y≠n,\mathfrak{y} \neq \mathfrak{n},

ならば

xyy=x.\frac{\mathfrak{x}\mathfrak{y}}{\mathfrak{y}} = \mathfrak{x}.

証明:

yx=xy.\mathfrak{y}\mathfrak{x} = \mathfrak{x}\mathfrak{y}.

定理 242:

x≠n,y≠n,\mathfrak{x} \neq \mathfrak{n}, \quad \mathfrak{y} \neq \mathfrak{n},

ならば

xxy=y.\frac{\mathfrak{x}}{\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}} = \mathfrak{y}.

証明:

xy y=x.\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}\,\mathfrak{y} = \mathfrak{x}.

定理 243:

y≠n,z≠n,\mathfrak{y} \neq \mathfrak{n}, \quad \mathfrak{z} \neq \mathfrak{n},

ならば

xyz=xyz.\frac{\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}}{\mathfrak{z}} = \frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}\mathfrak{z}}.

証明:

(yz)xyz=xyz(zy)=(xyz z)y=xy y=x.(\mathfrak{y}\mathfrak{z})\frac{\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}}{\mathfrak{z}} = \frac{\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}}{\mathfrak{z}}(\mathfrak{z}\mathfrak{y}) = \left(\frac{\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}}{\mathfrak{z}}\,\mathfrak{z}\right)\mathfrak{y} = \frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}\,\mathfrak{y} = \mathfrak{x}.

定理 244:

z≠n,\mathfrak{z} \neq \mathfrak{n},

ならば

xyz=x yz.\frac{\mathfrak{x}\mathfrak{y}}{\mathfrak{z}} = \mathfrak{x}\,\frac{\mathfrak{y}}{\mathfrak{z}}.

証明:

(x yz)z=x(yz z)=xy.\left(\mathfrak{x}\,\frac{\mathfrak{y}}{\mathfrak{z}}\right)\mathfrak{z} = \mathfrak{x}\left(\frac{\mathfrak{y}}{\mathfrak{z}}\,\mathfrak{z}\right) = \mathfrak{x}\mathfrak{y}.

定理 245:

y≠n,z≠n,\mathfrak{y} \neq \mathfrak{n}, \quad \mathfrak{z} \neq \mathfrak{n},

ならば

xy z=xyz.\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}\,\mathfrak{z} = \frac{\mathfrak{x}}{\frac{\mathfrak{y}}{\mathfrak{z}}}.

証明:

(xy z)yz=xy(z yz)=xy y=x.\left(\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}\,\mathfrak{z}\right)\frac{\mathfrak{y}}{\mathfrak{z}} = \frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}\left(\mathfrak{z}\,\frac{\mathfrak{y}}{\mathfrak{z}}\right) = \frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}\,\mathfrak{y} = \mathfrak{x}.

定理 246:

y≠n,z≠n,\mathfrak{y} \neq \mathfrak{n}, \quad \mathfrak{z} \neq \mathfrak{n},

ならば

xzyz=xy.\frac{\mathfrak{x}\mathfrak{z}}{\mathfrak{y}\mathfrak{z}} = \frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}.

証明:

xy(yz)=(xy y)z=xz.\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}(\mathfrak{y}\mathfrak{z}) = \left(\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}\,\mathfrak{y}\right)\mathfrak{z} = \mathfrak{x}\mathfrak{z}.

定理 247:

y≠n,u≠n,\mathfrak{y} \neq \mathfrak{n}, \quad \mathfrak{u} \neq \mathfrak{n},

ならば

xy⋅zu=xzyu.\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}} \cdot \frac{\mathfrak{z}}{\mathfrak{u}} = \frac{\mathfrak{x}\mathfrak{z}}{\mathfrak{y}\mathfrak{u}}.

証明:

(xy⋅zu)(yu)=xy(zu(uy))=xy((zu u)y)=xy(zy)=xy(yz)=(xy y)z=xz.\begin{aligned} \left(\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}} \cdot \frac{\mathfrak{z}}{\mathfrak{u}}\right)(\mathfrak{y}\mathfrak{u}) &= \frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}\left(\frac{\mathfrak{z}}{\mathfrak{u}}(\mathfrak{u}\mathfrak{y})\right) = \frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}\left(\left(\frac{\mathfrak{z}}{\mathfrak{u}}\,\mathfrak{u}\right)\mathfrak{y}\right) \\ &= \frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}(\mathfrak{z}\mathfrak{y}) = \frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}(\mathfrak{y}\mathfrak{z}) = \left(\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}\,\mathfrak{y}\right)\mathfrak{z} = \mathfrak{x}\mathfrak{z}. \end{aligned}

定理 248:

y≠n,z≠n,u≠n,\mathfrak{y} \neq \mathfrak{n}, \quad \mathfrak{z} \neq \mathfrak{n}, \quad \mathfrak{u} \neq \mathfrak{n},

ならば

xyzu=xuyz.\frac{\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}}{\frac{\mathfrak{z}}{\mathfrak{u}}} = \frac{\mathfrak{x}\mathfrak{u}}{\mathfrak{y}\mathfrak{z}}.

証明: 定理 247 と定理 246 により

xuyz⋅zu=(xu)z(yz)u=x(uz)y(zu)=xy.\frac{\mathfrak{x}\mathfrak{u}}{\mathfrak{y}\mathfrak{z}} \cdot \frac{\mathfrak{z}}{\mathfrak{u}} = \frac{(\mathfrak{x}\mathfrak{u})\mathfrak{z}}{(\mathfrak{y}\mathfrak{z})\mathfrak{u}} = \frac{\mathfrak{x}(\mathfrak{u}\mathfrak{z})}{\mathfrak{y}(\mathfrak{z}\mathfrak{u})} = \frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}.

定理 249:

x≠n,\mathfrak{x} \neq \mathfrak{n},

ならば

nx=n.\frac{\mathfrak{n}}{\mathfrak{x}} = \mathfrak{n}.

証明:

xn=n.\mathfrak{x}\mathfrak{n} = \mathfrak{n}.

定理 250:

x≠n,\mathfrak{x} \neq \mathfrak{n},

ならば

xx=e.\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{x}} = \mathfrak{e}.

証明:

xe=x.\mathfrak{x}\mathfrak{e} = \mathfrak{x}.

定理 251:

y≠n,\mathfrak{y} \neq \mathfrak{n},

ならば、

xy=e\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}} = \mathfrak{e}

であるのは、

x=y.\mathfrak{x} = \mathfrak{y}.

のとき、またそのときに限る。

証明: 1)

x=y,\mathfrak{x} = \mathfrak{y},

ならば、定理 250 により

xy=yy=e.\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}} = \frac{\mathfrak{y}}{\mathfrak{y}} = \mathfrak{e}.
xy=e,\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}} = \mathfrak{e},

ならば、定理 222 により

x=ye=y.\mathfrak{x} = \mathfrak{y}\mathfrak{e} = \mathfrak{y}.

定理 252:

y≠n,u≠n,\mathfrak{y} \neq \mathfrak{n}, \quad \mathfrak{u} \neq \mathfrak{n},

ならば、

xy=zu\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}} = \frac{\mathfrak{z}}{\mathfrak{u}}

であるのは、

xu=yz.\mathfrak{x}\mathfrak{u} = \mathfrak{y}\mathfrak{z}.

のとき、またそのときに限る。

証明:

z=n\mathfrak{z} = \mathfrak{n}

の場合には主張は明らかである。

そうでない場合には、定理 248 により

xyzu=xuyz,\frac{\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}}{\frac{\mathfrak{z}}{\mathfrak{u}}} = \frac{\mathfrak{x}\mathfrak{u}}{\mathfrak{y}\mathfrak{z}},

であるから、定理 251 が主張を与える。

定理 253:

y≠n,\mathfrak{y} \neq \mathfrak{n},

ならば

xy+zy=x+zy.\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}} + \frac{\mathfrak{z}}{\mathfrak{y}} = \frac{\mathfrak{x} + \mathfrak{z}}{\mathfrak{y}}.

証明:

y(xy+zy)=y⋅xy+y⋅zy=x+z.\mathfrak{y}\left(\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}} + \frac{\mathfrak{z}}{\mathfrak{y}}\right) = \mathfrak{y} \cdot \frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}} + \mathfrak{y} \cdot \frac{\mathfrak{z}}{\mathfrak{y}} = \mathfrak{x} + \mathfrak{z}.

定理 254:

y≠n,u≠n,\mathfrak{y} \neq \mathfrak{n}, \quad \mathfrak{u} \neq \mathfrak{n},

ならば

xy+zu=xu+yzyu.\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}} + \frac{\mathfrak{z}}{\mathfrak{u}} = \frac{\mathfrak{x}\mathfrak{u} + \mathfrak{y}\mathfrak{z}}{\mathfrak{y}\mathfrak{u}}.

証明: 定理 246 と定理 253 により

xy+zu=xuyu+yzyu=xu+yzyu.\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}} + \frac{\mathfrak{z}}{\mathfrak{u}} = \frac{\mathfrak{x}\mathfrak{u}}{\mathfrak{y}\mathfrak{u}} + \frac{\mathfrak{y}\mathfrak{z}}{\mathfrak{y}\mathfrak{u}} = \frac{\mathfrak{x}\mathfrak{u} + \mathfrak{y}\mathfrak{z}}{\mathfrak{y}\mathfrak{u}}.

定理 255:

y≠n,\mathfrak{y} \neq \mathfrak{n},

ならば

xy−zy=x−zy.\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}} - \frac{\mathfrak{z}}{\mathfrak{y}} = \frac{\mathfrak{x} - \mathfrak{z}}{\mathfrak{y}}.

証明:

y(xy−zy)=y⋅xy−y⋅zy=x−z.\mathfrak{y}\left(\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}} - \frac{\mathfrak{z}}{\mathfrak{y}}\right) = \mathfrak{y} \cdot \frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}} - \mathfrak{y} \cdot \frac{\mathfrak{z}}{\mathfrak{y}} = \mathfrak{x} - \mathfrak{z}.

定理 256:

y≠n,u≠n,\mathfrak{y} \neq \mathfrak{n}, \quad \mathfrak{u} \neq \mathfrak{n},

ならば

xy−zu=xu−yzyu.\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}} - \frac{\mathfrak{z}}{\mathfrak{u}} = \frac{\mathfrak{x}\mathfrak{u} - \mathfrak{y}\mathfrak{z}}{\mathfrak{y}\mathfrak{u}}.

証明: 定理 246 と定理 255 により

xy−zu=xuyu−yzyu=xu−yzyu.\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}} - \frac{\mathfrak{z}}{\mathfrak{u}} = \frac{\mathfrak{x}\mathfrak{u}}{\mathfrak{y}\mathfrak{u}} - \frac{\mathfrak{y}\mathfrak{z}}{\mathfrak{y}\mathfrak{u}} = \frac{\mathfrak{x}\mathfrak{u} - \mathfrak{y}\mathfrak{z}}{\mathfrak{y}\mathfrak{u}}.

§ 6. 共役数

定義 65:

x=[Ξ1,Ξ2]\mathfrak{x} = [\Xi_1, \Xi_2]

に対して

x‾=[Ξ1,−Ξ2]\overline{\mathfrak{x}} = [\Xi_1, -\Xi_2]

を共役複素数という。

定理 257: x‾‾=x\overline{\overline{\mathfrak{x}}} = \mathfrak{x}.

証明: [Ξ1,−(−Ξ2)]=[Ξ1,Ξ2][\Xi_1, -(-\Xi_2)] = [\Xi_1, \Xi_2].

定理 258:

x‾=n\overline{\mathfrak{x}} = \mathfrak{n}

となるのは、

x=n.\mathfrak{x} = \mathfrak{n}.

のとき、またそのときに限る。

証明:

Ξ1=0,−Ξ2=0\Xi_1 = 0, \quad -\Xi_2 = 0

は

Ξ1=0,Ξ2=0.\Xi_1 = 0, \quad \Xi_2 = 0.

と同じことである。

定理 259:

x‾=x\overline{\mathfrak{x}} = \mathfrak{x}

となるのは、x\mathfrak{x} が

x=[Ξ,0]\mathfrak{x} = [\Xi, 0]

の形を持つとき、またそのときに限る。

証明:

Ξ1=Ξ1,−Ξ2=Ξ2\Xi_1 = \Xi_1, \quad -\Xi_2 = \Xi_2

となるのは、

Ξ2=0.\Xi_2 = 0.

のとき、またそのときに限る。

定理 260: x+y‾=x‾+y‾\overline{\mathfrak{x} + \mathfrak{y}} = \overline{\mathfrak{x}} + \overline{\mathfrak{y}}.

証明:

x=[Ξ1,Ξ2],y=[H1,H2]\mathfrak{x} = [\Xi_1, \Xi_2], \quad \mathfrak{y} = [\mathrm{H}_1, \mathrm{H}_2]

に対して

x+y‾=[Ξ1+H1,−(Ξ2+H2)]=[Ξ1+H1,−Ξ2+(−H2)]=[Ξ1,−Ξ2]+[H1,−H2]=x‾+y‾.\begin{aligned} \overline{\mathfrak{x} + \mathfrak{y}} &= [\Xi_1 + \mathrm{H}_1, -(\Xi_2 + \mathrm{H}_2)] = [\Xi_1 + \mathrm{H}_1, -\Xi_2 + (-\mathrm{H}_2)] \\ &= [\Xi_1, -\Xi_2] + [\mathrm{H}_1, -\mathrm{H}_2] = \overline{\mathfrak{x}} + \overline{\mathfrak{y}}. \end{aligned}

である。

定理 261: xy‾=x‾ y‾\overline{\mathfrak{x}\mathfrak{y}} = \overline{\mathfrak{x}}\,\overline{\mathfrak{y}}.

証明:

x=[Ξ1,Ξ2],y=[H1,H2]\mathfrak{x} = [\Xi_1, \Xi_2], \quad \mathfrak{y} = [\mathrm{H}_1, \mathrm{H}_2]

に対して

xy‾=[Ξ1H1−Ξ2H2,−(Ξ1H2+Ξ2H1)]=[Ξ1H1−(−Ξ2)(−H2),Ξ1(−H2)+(−Ξ2)H1]=[Ξ1,−Ξ2][H1,−H2]=x‾ y‾.\begin{aligned} \overline{\mathfrak{x}\mathfrak{y}} &= [\Xi_1\mathrm{H}_1 - \Xi_2\mathrm{H}_2, -(\Xi_1\mathrm{H}_2 + \Xi_2\mathrm{H}_1)] \\ &= [\Xi_1\mathrm{H}_1 - (-\Xi_2)(-\mathrm{H}_2), \Xi_1(-\mathrm{H}_2) + (-\Xi_2)\mathrm{H}_1] \\ &= [\Xi_1, -\Xi_2][\mathrm{H}_1, -\mathrm{H}_2] = \overline{\mathfrak{x}}\,\overline{\mathfrak{y}}. \end{aligned}

である。

定理 262: x−y‾=x‾−y‾\overline{\mathfrak{x} - \mathfrak{y}} = \overline{\mathfrak{x}} - \overline{\mathfrak{y}}.

証明:

x=(x−y)+y\mathfrak{x} = (\mathfrak{x} - \mathfrak{y}) + \mathfrak{y}

により、定理 260 から

x‾=x−y‾+y‾,\overline{\mathfrak{x}} = \overline{\mathfrak{x} - \mathfrak{y}} + \overline{\mathfrak{y}}, x−y‾=x‾−y‾.\overline{\mathfrak{x} - \mathfrak{y}} = \overline{\mathfrak{x}} - \overline{\mathfrak{y}}.

である。

定理 263:

y≠n\mathfrak{y} \neq \mathfrak{n}

に対して

(xy)‾=x‾y‾.\overline{\left(\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}\right)} = \frac{\overline{\mathfrak{x}}}{\overline{\mathfrak{y}}}.

である。

証明:

x=xy y\mathfrak{x} = \frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}\,\mathfrak{y}

により、定理 261 から

x‾=(xy)‾ y‾;\overline{\mathfrak{x}} = \overline{\left(\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}\right)}\,\overline{\mathfrak{y}};

であり、定理 258 から

y‾≠n,\overline{\mathfrak{y}} \neq \mathfrak{n},

であるから、

(xy)‾=x‾y‾.\overline{\left(\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}\right)} = \frac{\overline{\mathfrak{x}}}{\overline{\mathfrak{y}}}.

§ 7. 絶対値

定義 66: ζ\sqrt{\zeta} は、定理 161 により一意に存在する

ξξ=ζ.\xi\xi = \zeta.

の(正の)解 ξ\xi を表すものとする。

定義 67: 0=0\sqrt{0} = 0.

定義 68:

∣[Ξ1,Ξ2]∣=Ξ1Ξ1+Ξ2Ξ2.|[\Xi_1, \Xi_2]| = \sqrt{\Xi_1\Xi_1 + \Xi_2\Xi_2}.

(∣ ∣|\ | は「絶対値」と読む。)

定理 264:

∣x∣{>0(x≠n のとき),=0(x=n のとき).|\mathfrak{x}| \begin{cases} > 0 & (\mathfrak{x} \neq \mathfrak{n} \text{ のとき}), \\ = 0 & (\mathfrak{x} = \mathfrak{n} \text{ のとき}). \end{cases}

証明: 定義 68、66 および 67。

定理 265:

∣[Ξ1,Ξ2]∣≧∣Ξ1∣,|[\Xi_1, \Xi_2]| \geqq |\Xi_1|, ∣[Ξ1,Ξ2]∣≧∣Ξ2∣.|[\Xi_1, \Xi_2]| \geqq |\Xi_2|.

証明:

∣[Ξ1,Ξ2]∣ ∣[Ξ1,Ξ2]∣=Ξ1Ξ1+Ξ2Ξ2{≧Ξ1Ξ1=∣Ξ1∣∣Ξ1∣,≧Ξ2Ξ2=∣Ξ2∣∣Ξ2∣.|[\Xi_1, \Xi_2]|\,|[\Xi_1, \Xi_2]| = \Xi_1\Xi_1 + \Xi_2\Xi_2 \begin{cases} \geqq \Xi_1\Xi_1 = |\Xi_1||\Xi_1|, \\ \geqq \Xi_2\Xi_2 = |\Xi_2||\Xi_2|. \end{cases} ΞΞ≧HH,Ξ≧0,H≧0\Xi\Xi \geqq \mathrm{H}\mathrm{H}, \quad \Xi \geqq 0, \quad \mathrm{H} \geqq 0

から

Ξ≧H,\Xi \geqq \mathrm{H},

が従う。なぜなら、さもなければ

0≦Ξ<H,0 \leqq \Xi < \mathrm{H}, ΞΞ<HH\Xi\Xi < \mathrm{H}\mathrm{H}

となるからである。これで定理 265 は証明された。

定理 266:

[Ξ,0][Ξ,0]=[H,0][H,0],Ξ≧0,H≧0[\Xi, 0][\Xi, 0] = [\mathrm{H}, 0][\mathrm{H}, 0], \quad \Xi \geqq 0, \quad \mathrm{H} \geqq 0

から

Ξ=H.\Xi = \mathrm{H}.

が従う。

証明:

[Z,0][Z,0]=[ZZ−0⋅0,Z⋅0+0⋅Z]=[ZZ,0][\mathrm{Z}, 0][\mathrm{Z}, 0] = [\mathrm{Z}\mathrm{Z} - 0 \cdot 0, \mathrm{Z} \cdot 0 + 0 \cdot \mathrm{Z}] = [\mathrm{Z}\mathrm{Z}, 0]

により、仮定から

[ΞΞ,0]=[HH,0],[\Xi\Xi, 0] = [\mathrm{H}\mathrm{H}, 0], ΞΞ=HH.\Xi\Xi = \mathrm{H}\mathrm{H}.

である。

Ξ>0,\Xi > 0,

ならば

HH=ΞΞ>0,\mathrm{H}\mathrm{H} = \Xi\Xi > 0,

が従い、よって定理 161 から

H>0,\mathrm{H} > 0, Ξ=H.\Xi = \mathrm{H}.

である。

Ξ=0,\Xi = 0,

ならば

HH=ΞΞ=0,\mathrm{H}\mathrm{H} = \Xi\Xi = 0, H=0=Ξ.\mathrm{H} = 0 = \Xi.

が従う。

定理 267: [∣x∣,0][∣x∣,0]=xx‾[|\mathfrak{x}|, 0][|\mathfrak{x}|, 0] = \mathfrak{x}\overline{\mathfrak{x}}.

証明:

x=[Ξ1,Ξ2]\mathfrak{x} = [\Xi_1, \Xi_2]

とおけば、

[∣x∣,0][∣x∣,0]=[∣x∣∣x∣,0]=[Ξ1Ξ1+Ξ2Ξ2,0]=[Ξ1Ξ1−Ξ2(−Ξ2),Ξ1(−Ξ2)+Ξ2Ξ1]=[Ξ1,Ξ2][Ξ1,−Ξ2]=xx‾.\begin{aligned} [|\mathfrak{x}|, 0][|\mathfrak{x}|, 0] &= [|\mathfrak{x}||\mathfrak{x}|, 0] = [\Xi_1\Xi_1 + \Xi_2\Xi_2, 0] \\ &= [\Xi_1\Xi_1 - \Xi_2(-\Xi_2), \Xi_1(-\Xi_2) + \Xi_2\Xi_1] = [\Xi_1, \Xi_2][\Xi_1, -\Xi_2] = \mathfrak{x}\overline{\mathfrak{x}}. \end{aligned}

である。

定理 268: ∣xy∣=∣x∣∣y∣|\mathfrak{x}\mathfrak{y}| = |\mathfrak{x}||\mathfrak{y}|.

証明: 定理 267 および定理 261 から

[∣xy∣,0][∣xy∣,0]=(xy)xy‾=(xy)(x‾ y‾)=(xx‾)(yy‾)=([∣x∣,0][∣x∣,0])([∣y∣,0][∣y∣,0])=([∣x∣,0][∣y∣,0])([∣x∣,0][∣y∣,0])=[∣x∣∣y∣−0⋅0,∣x∣⋅0+0⋅∣y∣][∣x∣∣y∣−0⋅0,∣x∣⋅0+0⋅∣y∣]=[∣x∣∣y∣,0][∣x∣∣y∣,0],\begin{aligned} [|\mathfrak{x}\mathfrak{y}|, 0][|\mathfrak{x}\mathfrak{y}|, 0] &= (\mathfrak{x}\mathfrak{y})\overline{\mathfrak{x}\mathfrak{y}} = (\mathfrak{x}\mathfrak{y})(\overline{\mathfrak{x}}\,\overline{\mathfrak{y}}) = (\mathfrak{x}\overline{\mathfrak{x}})(\mathfrak{y}\overline{\mathfrak{y}}) \\ &= ([|\mathfrak{x}|, 0][|\mathfrak{x}|, 0])([|\mathfrak{y}|, 0][|\mathfrak{y}|, 0]) \\ &= ([|\mathfrak{x}|, 0][|\mathfrak{y}|, 0])([|\mathfrak{x}|, 0][|\mathfrak{y}|, 0]) \\ &= [|\mathfrak{x}||\mathfrak{y}| - 0 \cdot 0, |\mathfrak{x}| \cdot 0 + 0 \cdot |\mathfrak{y}|][|\mathfrak{x}||\mathfrak{y}| - 0 \cdot 0, |\mathfrak{x}| \cdot 0 + 0 \cdot |\mathfrak{y}|] \\ &= [|\mathfrak{x}||\mathfrak{y}|, 0][|\mathfrak{x}||\mathfrak{y}|, 0], \end{aligned}

であり、よって定理 266 から

∣xy∣=∣x∣∣y∣.|\mathfrak{x}\mathfrak{y}| = |\mathfrak{x}||\mathfrak{y}|.

定理 269:

y≠n,\mathfrak{y} \neq \mathfrak{n},

ならば

∣xy∣=∣x∣∣y∣.\left|\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}\right| = \frac{|\mathfrak{x}|}{|\mathfrak{y}|}.

である。

証明:

∣y∣>0,|\mathfrak{y}| > 0, xy y=x,\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}\,\mathfrak{y} = \mathfrak{x},

であるから、定理 268 により

∣xy∣∣y∣=∣x∣,\left|\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}\right| |\mathfrak{y}| = |\mathfrak{x}|, ∣xy∣=∣x∣∣y∣.\left|\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{y}}\right| = \frac{|\mathfrak{x}|}{|\mathfrak{y}|}.

定理 270:

x+y=e\mathfrak{x} + \mathfrak{y} = \mathfrak{e}

から

∣x∣+∣y∣≧1.|\mathfrak{x}| + |\mathfrak{y}| \geqq 1.

が従う。

証明:

x=[Ξ1,Ξ2],y=[H1,H2],\mathfrak{x} = [\Xi_1, \Xi_2], \quad \mathfrak{y} = [\mathrm{H}_1, \mathrm{H}_2],

とすれば、定理 265 から

∣x∣≧∣Ξ1∣≧Ξ1,|\mathfrak{x}| \geqq |\Xi_1| \geqq \Xi_1, ∣y∣≧∣H1∣≧H1,|\mathfrak{y}| \geqq |\mathrm{H}_1| \geqq \mathrm{H}_1,

であり、よって

∣x∣+∣y∣≧Ξ1+H1=1.|\mathfrak{x}| + |\mathfrak{y}| \geqq \Xi_1 + \mathrm{H}_1 = 1.

定理 271: ∣x+y∣≦∣x∣+∣y∣|\mathfrak{x} + \mathfrak{y}| \leqq |\mathfrak{x}| + |\mathfrak{y}|.

証明: 1)

x+y=n,\mathfrak{x} + \mathfrak{y} = \mathfrak{n},

ならば、主張の左辺は 00 であり、したがって右辺 ≦\leqq が成り立つ。

x+y≠n,\mathfrak{x} + \mathfrak{y} \neq \mathfrak{n},

ならば、

xx+y+yx+y=x+yx+y=e,\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{x} + \mathfrak{y}} + \frac{\mathfrak{y}}{\mathfrak{x} + \mathfrak{y}} = \frac{\mathfrak{x} + \mathfrak{y}}{\mathfrak{x} + \mathfrak{y}} = \mathfrak{e},

により、定理 270 から

∣xx+y∣+∣yx+y∣≧1,\left|\frac{\mathfrak{x}}{\mathfrak{x} + \mathfrak{y}}\right| + \left|\frac{\mathfrak{y}}{\mathfrak{x} + \mathfrak{y}}\right| \geqq 1,

であり、よって定理 269 から

∣x∣∣x+y∣+∣y∣∣x+y∣≧1,\frac{|\mathfrak{x}|}{|\mathfrak{x} + \mathfrak{y}|} + \frac{|\mathfrak{y}|}{|\mathfrak{x} + \mathfrak{y}|} \geqq 1, ∣x∣+∣y∣=∣x+y∣(∣x∣∣x+y∣+∣y∣∣x+y∣)≧∣x+y∣.|\mathfrak{x}| + |\mathfrak{y}| = |\mathfrak{x} + \mathfrak{y}|\left(\frac{|\mathfrak{x}|}{|\mathfrak{x} + \mathfrak{y}|} + \frac{|\mathfrak{y}|}{|\mathfrak{x} + \mathfrak{y}|}\right) \geqq |\mathfrak{x} + \mathfrak{y}|.

である。

定理 272: ∣−x∣=∣x∣|-\mathfrak{x}| = |\mathfrak{x}|.

証明: (−Ξ1)(−Ξ1)+(−Ξ2)(−Ξ2)=Ξ1Ξ1+Ξ2Ξ2(-\Xi_1)(-\Xi_1) + (-\Xi_2)(-\Xi_2) = \Xi_1\Xi_1 + \Xi_2\Xi_2.

定理 273: ∣x−y∣≧∣∣x∣−∣y∣∣|\mathfrak{x} - \mathfrak{y}| \geqq ||\mathfrak{x}| - |\mathfrak{y}||.

証明:

x=y+(x−y),\mathfrak{x} = \mathfrak{y} + (\mathfrak{x} - \mathfrak{y}),

であるから、定理 271 により

∣x∣≦∣y∣+∣x−y∣,|\mathfrak{x}| \leqq |\mathfrak{y}| + |\mathfrak{x} - \mathfrak{y}|, ∣x−y∣≧∣x∣−∣y∣.|\mathfrak{x} - \mathfrak{y}| \geqq |\mathfrak{x}| - |\mathfrak{y}|.

である。ここで x\mathfrak{x} と y\mathfrak{y} を入れ替えれば、

∣y−x∣≧∣y∣−∣x∣,|\mathfrak{y} - \mathfrak{x}| \geqq |\mathfrak{y}| - |\mathfrak{x}|,

が従い、よって定理 272 から

∣x−y∣=∣−(y−x)∣=∣y−x∣≧∣y∣−∣x∣=−(∣x∣−∣y∣).|\mathfrak{x} - \mathfrak{y}| = |-(\mathfrak{y} - \mathfrak{x})| = |\mathfrak{y} - \mathfrak{x}| \geqq |\mathfrak{y}| - |\mathfrak{x}| = -(|\mathfrak{x}| - |\mathfrak{y}|).

である。ところで、∣H∣|\mathrm{H}| は H\mathrm{H} か −H-\mathrm{H} のいずれかであるから、

Ξ≧H,Ξ≧−H\Xi \geqq \mathrm{H}, \quad \Xi \geqq -\mathrm{H}

から

Ξ≧∣H∣.\Xi \geqq |\mathrm{H}|.

が従う。したがって

∣x−y∣≧∣∣x∣−∣y∣∣.|\mathfrak{x} - \mathfrak{y}| \geqq ||\mathfrak{x}| - |\mathfrak{y}||.

である。

§ 8. 和と積

定理 274:

x<y,x < y,

ならば、m≦xm \leqq x を n≦yn \leqq y に一対一に対応させることはできない。

この § において、対応させるとは常に一対一に対応させることを意味する。

証明: M\mathfrak{M} を、すべての y>xy > x に対して主張が真であるような xx の集合とする。

I)

1<y,1 < y,

ならば、m=1m = 1 を n≦yn \leqq y に対応させることはできない。なぜなら、m=1m = 1 に n=1n = 1 が対応するならば、n=yn = y に対する mm が残らないし、m=1m = 1 がある n>1n > 1 に対応させられているならば、n=1n = 1 に対する mm が残らないからである。

したがって 1 は M\mathfrak{M} に属する。

II) xx が M\mathfrak{M} に属し、

x+1<y.x + 1 < y.

であるとする。m≦x+1m \leqq x + 1 の n≦yn \leqq y への対応が存在するとき、二つの場合を区別する。

α) m=x+1m = x + 1 に n=yn = y が対応する場合。このとき m≦xm \leqq x は n≦y−1n \leqq y - 1 に対応させられていることになるが、これは

x<y−1.x < y - 1.

のためにあり得ない。

β) m=x+1m = x + 1 にある n=n0<yn = n_0 < y が対応する場合。このとき、n=yn = y に対応する数を m=m0m = m_0 とすると、m0<x+1m_0 < x + 1 である。いま、m≦x+1m \leqq x + 1 の n≦yn \leqq y への、次のように変更した対応を考える。

{m≠m0, m≠x+1 のときは従来どおりとする。m=m0 には n=n0 を対応させる。m=x+1 には n=y を対応させる。\begin{cases} m \neq m_0,\ m \neq x + 1 \text{ のときは従来どおりとする。} \\ m = m_0 \text{ には } n = n_0 \text{ を対応させる。} \\ m = x + 1 \text{ には } n = y \text{ を対応させる。} \end{cases}

このとき、先ほど α) で不可能であることが示された種類の対応が得られる。

したがって x+1x + 1 は M\mathfrak{M} に属し、主張は証明された。

以下の定理 275 から 278 まで、および 280 から 286 までの証明は、付随する定義とともに、和についても積についても文字どおり同一のものとなるので、長い繰り返しを避けるため、これを一度だけ行い、中立的な記号 ∔\dotplus を選ぶ。これは一貫して ++ を意味するか、または一貫して ⋅\cdot を意味するものとする。さしあたり中立的な記号 ∔\mathop{\Large\dotplus} は、後に対応して二つの記号(++ のときは Σ\Sigma、⋅\cdot のときは Π\Pi)に分けられる。

この展開全体を通じて、定義されているとは、複素数として定義されていることを意味する。

定理 275: xx を固定し、f(n)\mathfrak{f}(n) が n≦xn \leqq x に対して定義されているとする。このとき、n≦xn \leqq x に対して定義された

gx(n)\mathfrak{g}_x(n)

(より詳しく書けば

gx,f(n),\mathfrak{g}_{x,\mathfrak{f}}(n),

略記すれば

g(n))\mathfrak{g}(n))

で、次の性質をもつものがちょうど一つ存在する:

gx(1)=f(1),gx(n+1)=gx(n)∔f(n+1)(n<x のとき).\begin{aligned} \mathfrak{g}_x(1) &= \mathfrak{f}(1), \\ \mathfrak{g}_x(n + 1) &= \mathfrak{g}_x(n) \dotplus \mathfrak{f}(n + 1) \quad (n < x \text{ のとき}). \end{aligned}

証明: 1) まず、このような gx(n)\mathfrak{g}_x(n) が高々一つしか存在しないことを示す。

g(n)\mathfrak{g}(n) と h(n)\mathfrak{h}(n) が要求された性質をもつとする。M\mathfrak{M} を、

g(n)=h(n)\mathfrak{g}(n) = \mathfrak{h}(n)

を満たす n≦xn \leqq x と、n>xn > x とからなる集合とする。

I) g(1)=f(1)=h(1)\mathfrak{g}(1) = \mathfrak{f}(1) = \mathfrak{h}(1);

したがって 1 は M\mathfrak{M} に属する。

II) nn が M\mathfrak{M} に属するとする。このとき、

n<x,g(n)=h(n),n < x, \quad \mathfrak{g}(n) = \mathfrak{h}(n),

であって、したがって

g(n+1)=g(n)∔f(n+1)=h(n)∔f(n+1)=h(n+1),\mathfrak{g}(n + 1) = \mathfrak{g}(n) \dotplus \mathfrak{f}(n + 1) = \mathfrak{h}(n) \dotplus \mathfrak{f}(n + 1) = \mathfrak{h}(n + 1),

となり、n+1n + 1 が M\mathfrak{M} に属するか、あるいは

n≧x,n \geqq x,

であって、したがって

n+1>xn + 1 > x

となり、n+1n + 1 がやはり M\mathfrak{M} に属するかのいずれかである。

ゆえに M\mathfrak{M} はすべての正の整数の集合である。したがって、任意の n≦xn \leqq x に対して

g(n)=h(n),\mathfrak{g}(n) = \mathfrak{h}(n),

である。これが証明すべきことであった。

  1. 次に、f(n)\mathfrak{f}(n) が n≦xn \leqq x に対して定義されているとき、各 xx に対して適合する gx(n)\mathfrak{g}_x(n) が存在することを示す。

M\mathfrak{M} を、これが真であるような xx の集合、すなわち、f(n)\mathfrak{f}(n) が n≦xn \leqq x に対して定義されているとき、1) によりちょうど一つの適合する gx(n)\mathfrak{g}_x(n) が存在するような xx の集合とする。

I) x=1x = 1 に対しては、f(1)\mathfrak{f}(1) が定義されているとき、

gx(1)=f(1)\mathfrak{g}_x(1) = \mathfrak{f}(1)

が求めるものとなる(n<1n < 1 が不可能であるため、第二の要求は課されないからである)。したがって 1 は M\mathfrak{M} に属する。

II) xx が M\mathfrak{M} に属するとする。f(n)\mathfrak{f}(n) が n≦x+1n \leqq x + 1 に対して定義されているならば、それは n≦xn \leqq x に対して定義されているから、ここにちょうど一つの付随する gx(n)\mathfrak{g}_x(n) が存在する。いま、

gx+1(n)={gx(n)(n≦x のとき),gx(x)∔f(x+1)(n=x+1 のとき)\mathfrak{g}_{x+1}(n) = \begin{cases} \mathfrak{g}_x(n) & (n \leqq x \text{ のとき}), \\ \mathfrak{g}_x(x) \dotplus \mathfrak{f}(x + 1) & (n = x + 1 \text{ のとき}) \end{cases}

が x+1x + 1 において求めるものとなる。なぜなら、第一に

gx+1(1)=gx(1)=f(1).\mathfrak{g}_{x+1}(1) = \mathfrak{g}_x(1) = \mathfrak{f}(1).

である。第二に、

n<xn < x

に対しては(n+1≦xn + 1 \leqq x のため)

gx+1(n+1)=gx(n+1)=gx(n)∔f(n+1)=gx+1(n)∔f(n+1),\mathfrak{g}_{x+1}(n + 1) = \mathfrak{g}_x(n + 1) = \mathfrak{g}_x(n) \dotplus \mathfrak{f}(n + 1) = \mathfrak{g}_{x+1}(n) \dotplus \mathfrak{f}(n + 1),

が成り立ち、一方

n=xn = x

に対しては

gx+1(n+1)=gx(x)∔f(x+1)=gx+1(n)∔f(n+1)\mathfrak{g}_{x+1}(n + 1) = \mathfrak{g}_x(x) \dotplus \mathfrak{f}(x + 1) = \mathfrak{g}_{x+1}(n) \dotplus \mathfrak{f}(n + 1)

である。したがって

n<x+1n < x + 1

からは、いずれにせよ

gx+1(n+1)=gx+1(n)∔f(n+1).\mathfrak{g}_{x+1}(n + 1) = \mathfrak{g}_{x+1}(n) \dotplus \mathfrak{f}(n + 1).

が従う。

ゆえに x+1x + 1 は M\mathfrak{M} に属し、M\mathfrak{M} はすべての正の整数を含む。

定理 276: f(n)\mathfrak{f}(n) が n≦x+1n \leqq x + 1 に対して定義されているならば、付随する gx(n)\mathfrak{g}_x(n) と gx+1(n)\mathfrak{g}_{x+1}(n) に対して

gx+1(x+1)=gx(x)∔f(x+1).\mathfrak{g}_{x+1}(x + 1) = \mathfrak{g}_x(x) \dotplus \mathfrak{f}(x + 1).

が成り立つ。

証明: これは前の証明の 2)、II) における構成のなかに現れた。

定義 69: f(n)\mathfrak{f}(n) が n≦xn \leqq x に対して定義されているならば、

∔n=1xf(n)=gx(x)(=gx,f(x)).\mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) = \mathfrak{g}_x(x) \quad (= \mathfrak{g}_{x,\mathfrak{f}}(x)).

とする。

∔\dotplus が ++ の意味をもつときは

∑n=1xf(n);\sum_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n);

と書き、∔\dotplus が ⋅\cdot の意味をもつときは

∏n=1xf(n).\prod_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n).

と書く。

(Σ\Sigma は「和」と読み、Π\Pi は「積」と読む。)

これらの記号においては、nn の代わりに、正の整数を表す他の任意の文字を用いてもよい。

定理 277: f(1)\mathfrak{f}(1) が定義されているならば、

∔n=11f(n)=f(1).\mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{1} \mathfrak{f}(n) = \mathfrak{f}(1).

である。

証明: g1(1)=f(1)\mathfrak{g}_1(1) = \mathfrak{f}(1)。

定理 278: f(n)\mathfrak{f}(n) が n≦x+1n \leqq x + 1 に対して定義されているならば、

∔n=1x+1f(n)=∔n=1xf(n)∔f(x+1).\mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x+1} \mathfrak{f}(n) = \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) \dotplus \mathfrak{f}(x + 1).

である。

証明: 定理 276。

定理 279:

∑n=1xx=x[x,0].\sum_{n=1}^{x} \mathfrak{x} = \mathfrak{x}[x, 0].

証明: x\mathfrak{x} を固定し、M\mathfrak{M} をこれが成り立つ xx の集合とする。

I) 定理 277 により

∑n=11x=x=xe=x[1,0].\sum_{n=1}^{1} \mathfrak{x} = \mathfrak{x} = \mathfrak{x}\mathfrak{e} = \mathfrak{x}[1, 0].

である。したがって 1 は M\mathfrak{M} に属する。

II) xx が M\mathfrak{M} に属するならば、定理 278 から

∑n=1x+1x=∑n=1xx+x=x[x,0]+x[1,0]=x([x,0]+[1,0])=x[x+1,0].\sum_{n=1}^{x+1} \mathfrak{x} = \sum_{n=1}^{x} \mathfrak{x} + \mathfrak{x} = \mathfrak{x}[x, 0] + \mathfrak{x}[1, 0] = \mathfrak{x}([x, 0] + [1, 0]) = \mathfrak{x}[x + 1, 0].

が従う。

したがって x+1x + 1 は M\mathfrak{M} に属する。

ゆえに主張はすべての xx に対して成り立つ。

定理 280: f(1)\mathfrak{f}(1) と f(1+1)\mathfrak{f}(1 + 1) が定義されているならば、

∔n=11+1f(n)=f(1)∔f(1+1).\mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{1+1} \mathfrak{f}(n) = \mathfrak{f}(1) \dotplus \mathfrak{f}(1 + 1).

である。

証明: 定理 278 と定理 277 により

∔n=11+1f(n)=∔n=11f(n)∔f(1+1)=f(1)∔f(1+1).\mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{1+1} \mathfrak{f}(n) = \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{1} \mathfrak{f}(n) \dotplus \mathfrak{f}(1 + 1) = \mathfrak{f}(1) \dotplus \mathfrak{f}(1 + 1).

である。

定理 281: f(n)\mathfrak{f}(n) が n≦x+yn \leqq x + y に対して定義されているならば、

∔n=1x+yf(n)=∔n=1xf(n)∔∔n=1yf(x+n).\mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x+y} \mathfrak{f}(n) = \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) \dotplus \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{y} \mathfrak{f}(x + n).

である。

証明: xx を固定し、M\mathfrak{M} をこれが成り立つ yy の集合とする。

I) f(n)\mathfrak{f}(n) が n≦x+1n \leqq x + 1 に対して定義されているならば、定理 278 と定理 277 により

∔n=1x+1f(n)=∔n=1xf(n)∔f(x+1)=∔n=1xf(n)∔∔n=11f(x+n).\mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x+1} \mathfrak{f}(n) = \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) \dotplus \mathfrak{f}(x + 1) = \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) \dotplus \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{1} \mathfrak{f}(x + n).

である。したがって 1 は M\mathfrak{M} に属する。

II) yy が M\mathfrak{M} に属するとする。f(n)\mathfrak{f}(n) が n≦x+(y+1)n \leqq x + (y + 1) に対して定義されているならば、定理 278(xx の代わりに x+yx + y に適用して)により

∔n=1x+(y+1)f(n)=∔n=1(x+y)+1f(n)=∔n=1x+yf(n)∔f((x+y)+1)=(∔n=1xf(n)∔∔n=1yf(x+n))∔f(x+(y+1))=∔n=1xf(n)∔(∔n=1yf(x+n)∔f(x+(y+1))),\begin{aligned} \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x+(y+1)} \mathfrak{f}(n) &= \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{(x+y)+1} \mathfrak{f}(n) = \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x+y} \mathfrak{f}(n) \dotplus \mathfrak{f}((x + y) + 1) \\ &= \left(\mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) \dotplus \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{y} \mathfrak{f}(x + n)\right) \dotplus \mathfrak{f}(x + (y + 1)) \\ &= \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) \dotplus \left(\mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{y} \mathfrak{f}(x + n) \dotplus \mathfrak{f}(x + (y + 1))\right), \end{aligned}

であり、したがって定理 278(xx の代わりに yy、f(n)\mathfrak{f}(n) の代わりに f(x+n)\mathfrak{f}(x + n) に適用して)により

=∔n=1xf(n)∔∔n=1y+1f(x+n).= \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) \dotplus \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{y+1} \mathfrak{f}(x + n).

である。

したがって y+1y + 1 は M\mathfrak{M} に属し、定理は証明された。

定理 282: f(n)\mathfrak{f}(n) と g(n)\mathfrak{g}(n) が n≦xn \leqq x に対して定義されているならば、

∔n=1x(f(n)∔g(n))=∔n=1xf(n)∔∔n=1xg(n).\mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} (\mathfrak{f}(n) \dotplus \mathfrak{g}(n)) = \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) \dotplus \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{g}(n).

である。

証明: M\mathfrak{M} をこれが成り立つ xx の集合とする。

I) f(1)\mathfrak{f}(1) と g(1)\mathfrak{g}(1) が定義されているならば、

∔n=11(f(n)∔g(n))=f(1)∔g(1)=∔n=11f(n)∔∔n=11g(n).\mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{1} (\mathfrak{f}(n) \dotplus \mathfrak{g}(n)) = \mathfrak{f}(1) \dotplus \mathfrak{g}(1) = \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{1} \mathfrak{f}(n) \dotplus \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{1} \mathfrak{g}(n).

である。したがって 1 は M\mathfrak{M} に属する。

II) xx が M\mathfrak{M} に属するとする。f(n)\mathfrak{f}(n) と g(n)\mathfrak{g}(n) が n≦x+1n \leqq x + 1 に対して定義されているならば、

(x∔y)∔(z∔u)=((x∔y)∔z)∔u=(z∔(x∔y))∔u=((z∔x)∔y)∔u=(z∔x)∔(y∔u)=(x∔z)∔(y∔u),\begin{aligned} (\mathfrak{x} \dotplus \mathfrak{y}) \dotplus (\mathfrak{z} \dotplus \mathfrak{u}) &= ((\mathfrak{x} \dotplus \mathfrak{y}) \dotplus \mathfrak{z}) \dotplus \mathfrak{u} = (\mathfrak{z} \dotplus (\mathfrak{x} \dotplus \mathfrak{y})) \dotplus \mathfrak{u} \\ &= ((\mathfrak{z} \dotplus \mathfrak{x}) \dotplus \mathfrak{y}) \dotplus \mathfrak{u} = (\mathfrak{z} \dotplus \mathfrak{x}) \dotplus (\mathfrak{y} \dotplus \mathfrak{u}) = (\mathfrak{x} \dotplus \mathfrak{z}) \dotplus (\mathfrak{y} \dotplus \mathfrak{u}), \end{aligned}

を考慮して、

∔n=1x+1(f(n)∔g(n))=∔n=1x(f(n)∔g(n))∔(f(x+1)∔g(x+1))=(∔n=1xf(n)∔∔n=1xg(n))∔(f(x+1)∔g(x+1))=(∔n=1xf(n)∔f(x+1))∔(∔n=1xg(n)∔g(x+1))=∔n=1x+1f(n)∔∔n=1x+1g(n).\begin{aligned} \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x+1} (\mathfrak{f}(n) \dotplus \mathfrak{g}(n)) &= \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} (\mathfrak{f}(n) \dotplus \mathfrak{g}(n)) \dotplus (\mathfrak{f}(x + 1) \dotplus \mathfrak{g}(x + 1)) \\ &= \left(\mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) \dotplus \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{g}(n)\right) \dotplus (\mathfrak{f}(x + 1) \dotplus \mathfrak{g}(x + 1)) \\ &= \left(\mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) \dotplus \mathfrak{f}(x + 1)\right) \dotplus \left(\mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{g}(n) \dotplus \mathfrak{g}(x + 1)\right) \\ &= \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x+1} \mathfrak{f}(n) \dotplus \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x+1} \mathfrak{g}(n). \end{aligned}

である。

したがって x+1x + 1 は M\mathfrak{M} に属し、主張は常に成り立つ。

定理 283: s(n)s(n) は n≦xn \leqq x を m≦xm \leqq x に対応させるものとする。f(n)\mathfrak{f}(n) は n≦xn \leqq x に対して定義されているとする。このとき

∔n=1xf(s(n))=∔n=1xf(n).\mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(s(n)) = \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n).

である。

証明: 略記のため

f(s(n))=g(n)\mathfrak{f}(s(n)) = \mathfrak{g}(n)

とおく。

M\mathfrak{M} を、主張

∔n=1xg(n)=∔n=1xf(n)\mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{g}(n) = \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n)

が(すべての許される ss と f\mathfrak{f} に対して)真であるような xx の集合とする。

I)

x=1x = 1

に対しては

s(1)=1,s(1) = 1,

であるから、f(1)\mathfrak{f}(1) が定義されているとき、

∔n=1xg(n)=g(1)=f(1)=∔n=1xf(n).\mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{g}(n) = \mathfrak{g}(1) = \mathfrak{f}(1) = \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n).

である。したがって 1 は M\mathfrak{M} に属する。

II) xx が M\mathfrak{M} に属するとする。s(n)s(n) は n≦x+1n \leqq x + 1 を m≦x+1m \leqq x + 1 に対応させ、f(n)\mathfrak{f}(n) は n≦x+1n \leqq x + 1 に対して定義されているとする。

s(x+1)=x+1,s(x + 1) = x + 1,

の場合、s(n)s(n) は n≦xn \leqq x を m≦xm \leqq x に対応させる。このとき

∔n=1xg(n)=∔n=1xf(n),\mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{g}(n) = \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n), g(x+1)=f(x+1),\mathfrak{g}(x + 1) = \mathfrak{f}(x + 1),

であるから、

∔n=1x+1g(n)=∔n=1xg(n)∔g(x+1)=∔n=1xf(n)∔f(x+1)=∔n=1x+1f(n).\mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x+1} \mathfrak{g}(n) = \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{g}(n) \dotplus \mathfrak{g}(x + 1) = \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) \dotplus \mathfrak{f}(x + 1) = \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x+1} \mathfrak{f}(n).

である。

s(x+1)<x+1,s(1)=1,s(x + 1) < x + 1, \quad s(1) = 1,

の場合、s(n)s(n) は 1+1≦n≦x+11 + 1 \leqq n \leqq x + 1 なる nn を 1+1≦m≦x+11 + 1 \leqq m \leqq x + 1 なる mm に対応させる。したがって s(1+n)−1s(1 + n) - 1 は n≦xn \leqq x を m≦xm \leqq x に対応させる。ゆえに

∔n=1xg(1+n)=∔n=1xf(s(1+n))=∔n=1xf(1+(s(1+n)−1))=∔n=1xf(1+n),\mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{g}(1 + n) = \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(s(1 + n)) = \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(1 + (s(1 + n) - 1)) = \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(1 + n),

であり、したがって定理 281 により

∔n=1x+1g(n)=g(1)∔∔n=1xg(1+n)=f(1)∔∔n=1xf(1+n)=∔n=1x+1f(n).\mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x+1} \mathfrak{g}(n) = \mathfrak{g}(1) \dotplus \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{g}(1 + n) = \mathfrak{f}(1) \dotplus \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(1 + n) = \mathop{\Large\dotplus}\limits_{n=1}^{x+1} \mathfrak{f}(n).

である。

s(x+1)<x+1,s(1)>1,s(x + 1) < x + 1, \quad s(1) > 1,

の場合、

s(1)=as(1) = a

とおき、bb を

1≦b≦x+1,s(b)=11 \leqq b \leqq x + 1, \quad s(b) = 1

から定める。このとき

a>1,b>1.a > 1, \quad b > 1.

である。

α)

a<x+1.a < x + 1.

とする。このとき、

s1(n)={1(n=1 のとき),a(n=b のとき),s(n)(1<n≦x+1, n≠b のとき)s_1(n) = \begin{cases} 1 & (n = 1 \text{ のとき}), \\ a & (n = b \text{ のとき}), \\ s(n) & (1 < n \leqq x + 1,\ n \neq b \text{ のとき}) \end{cases}

も

s2(n)={a(n=1 のとき),1(n=a のとき),n(1<n≦x+1, n≠a のとき)s_2(n) = \begin{cases} a & (n = 1 \text{ のとき}), \\ 1 & (n = a \text{ のとき}), \\ n & (1 < n \leqq x + 1,\ n \neq a \text{ のとき}) \end{cases}

も、いずれも n≦x+1n \leqq x + 1 を m≦x+1m \leqq x + 1 に対応させる。

さて、

s(n)=s2(s1(n))(n≦x+1 のとき).s(n) = s_2(s_1(n)) \quad (n \leqq x + 1 \text{ のとき}).

である。なぜなら、s2(s1(n))s_2(s_1(n)) によって

1 は 1 を経て a=s(1) に移り,b は a を経て 1=s(b) に移り,他のすべての n≦x+1 は s(n) を経て s(n) に移る.\begin{aligned} &1 \text{ は } 1 \text{ を経て } a = s(1) \text{ に移り}, \\ &b \text{ は } a \text{ を経て } 1 = s(b) \text{ に移り}, \\ &\text{他のすべての } n \leqq x + 1 \text{ は } s(n) \text{ を経て } s(n) \text{ に移る}. \end{aligned}

と移るからである。

s1(n)s_1(n) は 1 を、s2(n)s_2(n) は x+1x + 1 を不変にとどめる。したがって 2) と 1) により

∑n=1x+1g(n)=∑n=1x+1f(s(n))=∑n=1x+1f(s2(s1(n)))=∑n=1x+1f(s1(n))=∑n=1x+1f(n).\sum_{n=1}^{x+1} \mathfrak{g}(n) = \sum_{n=1}^{x+1} \mathfrak{f}(s(n)) = \sum_{n=1}^{x+1} \mathfrak{f}(s_2(s_1(n))) = \sum_{n=1}^{x+1} \mathfrak{f}(s_1(n)) = \sum_{n=1}^{x+1} \mathfrak{f}(n).

である。

β)

a=x+1,b<x+1.a = x + 1, \quad b < x + 1.

とする。このとき

s3(n)={b(n=1 のとき),1(n=b のとき),n(1<n≦x+1, n≠b のとき)s_3(n) = \begin{cases} b & (n = 1 \text{ のとき}), \\ 1 & (n = b \text{ のとき}), \\ n & (1 < n \leqq x + 1,\ n \neq b \text{ のとき}) \end{cases}

は n≦x+1n \leqq x + 1 を m≦x+1m \leqq x + 1 に対応させる。さらに

s(n)=s1(s3(n))(n≦x+1 のとき).s(n) = s_1(s_3(n)) \quad (n \leqq x + 1 \text{ のとき}).

である。なぜなら、s1(s3(n))s_1(s_3(n)) によって

1 は b を経て a=s(1) に移り,b は 1 を経て 1=s(b) に移り,他のすべての n≦x+1 は n を経て s(n) に移る.\begin{aligned} &1 \text{ は } b \text{ を経て } a = s(1) \text{ に移り}, \\ &b \text{ は } 1 \text{ を経て } 1 = s(b) \text{ に移り}, \\ &\text{他のすべての } n \leqq x + 1 \text{ は } n \text{ を経て } s(n) \text{ に移る}. \end{aligned}

と移るからである。

s3(n)s_3(n) は x+1x + 1 を不変にとどめる。したがって 1) と 2) により

∑n=1x+1g(n)=∑n=1x+1f(s(n))=∑n=1x+1f(s1(s3(n)))=∑n=1x+1f(s3(n))=∑n=1x+1f(n).\sum_{n=1}^{x+1} \mathfrak{g}(n) = \sum_{n=1}^{x+1} \mathfrak{f}(s(n)) = \sum_{n=1}^{x+1} \mathfrak{f}(s_1(s_3(n))) = \sum_{n=1}^{x+1} \mathfrak{f}(s_3(n)) = \sum_{n=1}^{x+1} \mathfrak{f}(n).

である。

γ)

a=b=x+1.a = b = x + 1.

とする。x=1x = 1 ならば

∑n=1x+1g(n)=∑n=1x+1f(n)\sum_{n=1}^{x+1} \mathfrak{g}(n) = \sum_{n=1}^{x+1} \mathfrak{f}(n)

は自明である。

x>1x > 1 ならば、

s4(n)={1(n=1 のとき),x+1(n=x+1 のとき),s(n)(1<n<x+1 のとき)s_4(n) = \begin{cases} 1 & (n = 1 \text{ のとき}), \\ x + 1 & (n = x + 1 \text{ のとき}), \\ s(n) & (1 < n < x + 1 \text{ のとき}) \end{cases}

は n≦x+1n \leqq x + 1 を m≦x+1m \leqq x + 1 に対応させる。それゆえ 1) により

∑n=1x+1g(n)=∑n=1xg(n)∔g(x+1)=(g(1)∔∑n=1x−1g(n+1))∔g(x+1)=g(1)∔(∑n=1x−1g(n+1)∔g(x+1))=(g(x+1)∔∑n=1x−1g(n+1))∔g(1)=(f(s(x+1))∔∑n=1x−1f(s(n+1)))∔f(s(1))=(f(1)∔∑n=1x−1f(s4(n+1)))∔f(x+1)=(f(s4(1))∔∑n=1x−1f(s4(n+1)))∔f(s4(x+1))=∑n=1xf(s4(n))∔f(s4(x+1))=∑n=1x+1f(s4(n))=∑n=1x+1f(n).\begin{aligned} \sum_{n=1}^{x+1} \mathfrak{g}(n) &= \sum_{n=1}^{x} \mathfrak{g}(n) \dotplus \mathfrak{g}(x+1) = \left(\mathfrak{g}(1) \dotplus \sum_{n=1}^{x-1} \mathfrak{g}(n+1)\right) \dotplus \mathfrak{g}(x+1) \\ &= \mathfrak{g}(1) \dotplus \left(\sum_{n=1}^{x-1} \mathfrak{g}(n+1) \dotplus \mathfrak{g}(x+1)\right) \\ &= \left(\mathfrak{g}(x+1) \dotplus \sum_{n=1}^{x-1} \mathfrak{g}(n+1)\right) \dotplus \mathfrak{g}(1) \\ &= \left(\mathfrak{f}(s(x+1)) \dotplus \sum_{n=1}^{x-1} \mathfrak{f}(s(n+1))\right) \dotplus \mathfrak{f}(s(1)) \\ &= \left(\mathfrak{f}(1) \dotplus \sum_{n=1}^{x-1} \mathfrak{f}(s_4(n+1))\right) \dotplus \mathfrak{f}(x+1) \\ &= \left(\mathfrak{f}(s_4(1)) \dotplus \sum_{n=1}^{x-1} \mathfrak{f}(s_4(n+1))\right) \dotplus \mathfrak{f}(s_4(x+1)) \\ &= \sum_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(s_4(n)) \dotplus \mathfrak{f}(s_4(x+1)) = \sum_{n=1}^{x+1} \mathfrak{f}(s_4(n)) = \sum_{n=1}^{x+1} \mathfrak{f}(n). \end{aligned}

である。

したがって x+1x + 1 は M\mathfrak{M} に属し、定理は証明された。

定義 70 および定理 284 から定理 286 までにおいては、例外として、ラテン文字は(必ずしも正とは限らない)整数を表す。

定義 70:

y≦x,y \leqq x,

とし、f(n)\mathfrak{f}(n) が

y≦n≦xy \leqq n \leqq x

に対して定義されているとする。このとき

∑n=yxf(n)=∑n=1(x+1)−yf((n+y)−1).\sum_{n=y}^{x} \mathfrak{f}(n) = \sum_{n=1}^{(x+1)-y} \mathfrak{f}((n + y) - 1).

とする。

nn の代わりに、整数を表す他の任意の文字を用いてもよい。

次のことに注意せよ:

x+1>y;y≦(n+y)−1≦x(1≦n≦(x+1)−y のとき);x + 1 > y; \quad y \leqq (n + y) - 1 \leqq x \quad (1 \leqq n \leqq (x + 1) - y \text{ のとき});

さらに、y=1y = 1 に対して定義 70 が(そうあるべきように)定義 69 と一致していることにも注意せよ。

定理 284:

y≦u<x;y \leqq u < x;

とし、f(n)\mathfrak{f}(n) は

y≦n≦xy \leqq n \leqq x

に対して定義されているとする。このとき

∑n=yxf(n)=∑n=yuf(n)∔∑n=u+1xf(n).\sum_{n=y}^{x} \mathfrak{f}(n) = \sum_{n=y}^{u} \mathfrak{f}(n) \dotplus \sum_{n=u+1}^{x} \mathfrak{f}(n).

である。

証明: 定義 70 と定理 281 により

∑n=yxf(n)=∑n=1(x+1)−yf((n+y)−1)=∑n=1(u+1)−yf((n+y)−1)∔∑n=1x−uf(((((u+1)−y)+n)+y)−1);\sum_{n=y}^{x} \mathfrak{f}(n) = \sum_{n=1}^{(x+1)-y} \mathfrak{f}((n + y) - 1) = \sum_{n=1}^{(u+1)-y} \mathfrak{f}((n + y) - 1) \dotplus \sum_{n=1}^{x-u} \mathfrak{f}(((((u + 1) - y) + n) + y) - 1);

である。なぜなら

((u+1)−y)+(x−u)=(x+(−u))+((u+1)+(−y))=(x+((−u)+(u+1)))+(−y)=(x+1)−y.((u + 1) - y) + (x - u) = (x + (-u)) + ((u + 1) + (-y)) = (x + ((-u) + (u + 1))) + (-y) = (x + 1) - y.

だからである。

さて

(((u+1)−y)+n)+y=((u+1)−y)+(y+n)=(((u+1)−y)+y)+n=n+(u+1),(((u + 1) - y) + n) + y = ((u + 1) - y) + (y + n) = (((u + 1) - y) + y) + n = n + (u + 1),

であるから、定義 70 により

∑n=yxf(n)=∑n=yuf(n)∔∑n=1(x+1)−(u+1)f((n+(u+1))−1)=∑n=yuf(n)∔∑n=u+1xf(n).\sum_{n=y}^{x} \mathfrak{f}(n) = \sum_{n=y}^{u} \mathfrak{f}(n) \dotplus \sum_{n=1}^{(x+1)-(u+1)} \mathfrak{f}((n + (u + 1)) - 1) = \sum_{n=y}^{u} \mathfrak{f}(n) \dotplus \sum_{n=u+1}^{x} \mathfrak{f}(n).

である。

定理 285:

y≦x,y \leqq x,

とし、f(n)\mathfrak{f}(n) が

y≦n≦xy \leqq n \leqq x

に対して定義されているとする。このとき

∑n=yxf(n)=∑n=y+vx+vf(n−v).\sum_{n=y}^{x} \mathfrak{f}(n) = \sum_{n=y+v}^{x+v} \mathfrak{f}(n - v).

である。

証明: 定義 70 により、主張の左辺は

=∑n=1(x+1)−yf((n+y)−1),= \sum_{n=1}^{(x+1)-y} \mathfrak{f}((n + y) - 1),

であり、右辺は(y+v≦n≦x+vy + v \leqq n \leqq x + v に対して y≦n−v≦xy \leqq n - v \leqq x であることに注意せよ)

=∑n=1((x+v)+1)−(y+v)f(((n+(y+v))−1)−v);= \sum_{n=1}^{((x+v)+1)-(y+v)} \mathfrak{f}(((n + (y + v)) - 1) - v);

である。ここで

((x+v)+1)−(y+v)=(1+(x+v))+((−v)+(−y))=(1+((x+v)+(−v)))+(−y)=(1+x)−y=(x+1)−y((x + v) + 1) - (y + v) = (1 + (x + v)) + ((-v) + (-y)) = (1 + ((x + v) + (-v))) + (-y) = (1 + x) - y = (x + 1) - y

かつ

((n+(y+v))−1)−v=(n+(y+v))−(1+v)=((n+y)+v)+(−v+(−1))=(((n+y)+v)+(−v))+(−1)=((n+y)+(v+(−v)))−1=(n+y)−1.\begin{aligned} ((n + (y + v)) - 1) - v &= (n + (y + v)) - (1 + v) = ((n + y) + v) + (-v + (-1)) \\ &= (((n + y) + v) + (-v)) + (-1) = ((n + y) + (v + (-v))) - 1 = (n + y) - 1. \end{aligned}

である。

定理 286:

y≦x,y \leqq x,

とし、f(n)\mathfrak{f}(n) が

y≦n≦xy \leqq n \leqq x

に対して定義されているとする。s(n)s(n) は y≦n≦xy \leqq n \leqq x なる nn を y≦m≦xy \leqq m \leqq x なる mm に対応させるものとする。このとき

∑n=yxf(s(n))=∑n=yxf(n).\sum_{n=y}^{x} \mathfrak{f}(s(n)) = \sum_{n=y}^{x} \mathfrak{f}(n).

である。

証明:

s1(n)=s((n+y)−1)−(y−1)s_1(n) = s((n + y) - 1) - (y - 1)

は、正の n≦(x+1)−yn \leqq (x + 1) - y を正の m≦(x+1)−ym \leqq (x + 1) - y に対応させる。ゆえに定理 283 により

∑n=yxf(s(n))=∑n=1(x+1)−yf(s((n+y)−1))=∑n=1(x+1)−yf(s1(n)+(y−1))=∑n=1(x+1)−yf(n+(y−1))=∑n=1(x+1)−yf((n+y)−1)=∑n=yxf(n).\begin{aligned} \sum_{n=y}^{x} \mathfrak{f}(s(n)) &= \sum_{n=1}^{(x+1)-y} \mathfrak{f}(s((n + y) - 1)) = \sum_{n=1}^{(x+1)-y} \mathfrak{f}(s_1(n) + (y - 1)) \\ &= \sum_{n=1}^{(x+1)-y} \mathfrak{f}(n + (y - 1)) = \sum_{n=1}^{(x+1)-y} \mathfrak{f}((n + y) - 1) = \sum_{n=y}^{x} \mathfrak{f}(n). \end{aligned}

である。

なお、

∑n=yxf(n)\sum_{n=y}^{x} \mathfrak{f}(n)

の代わりに、くだけた書き方

f(y)+f(y+1)+⋯+f(x)\mathfrak{f}(y) + \mathfrak{f}(y + 1) + \cdots + \mathfrak{f}(x)

もよく用いられる(積についても同様である)。しかし、例えば

f(1)+f(1+1)+f((1+1)+1)+f(((1+1)+1)+1),\mathfrak{f}(1) + \mathfrak{f}(1 + 1) + \mathfrak{f}((1 + 1) + 1) + \mathfrak{f}(((1 + 1) + 1) + 1),

言い換えれば

a+b+c+d\mathfrak{a} + \mathfrak{b} + \mathfrak{c} + \mathfrak{d}

(これは定義により古い加法に帰着し、

((a+b)+c)+d((\mathfrak{a} + \mathfrak{b}) + \mathfrak{c}) + \mathfrak{d}

を意味する)は完全に正当であり、また例えば

abcdfghiklmopqrstuvwxyz.\mathfrak{abcdfghiklmopqrstuvwxyz}.

もそうである。

また、例えば

a−b+c\mathfrak{a} - \mathfrak{b} + \mathfrak{c}

を

a+(−b)+c\mathfrak{a} + (-\mathfrak{b}) + \mathfrak{c}

の意味で書いてもさしつかえない。なぜなら、いずれにせよ

f(1)+f(1+1)+f((1+1)+1)\mathfrak{f}(1) + \mathfrak{f}(1 + 1) + \mathfrak{f}((1 + 1) + 1)

において

f(1)=a,f(1+1)=−b,f((1+1)+1)=c\mathfrak{f}(1) = \mathfrak{a}, \quad \mathfrak{f}(1 + 1) = -\mathfrak{b}, \quad \mathfrak{f}((1 + 1) + 1) = \mathfrak{c}

としたものが意味されているからである。

これ以後、小文字のラテン文字は再び正の整数を表す。

定理 287: f(n)\mathfrak{f}(n) が n≦xn \leqq x に対して定義されているならば、

∣∑n=1xf(n)∣≦Ξ,\left| \sum_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) \right| \leqq \Xi, ∑n=1x[∣f(n)∣,0]=[Ξ,0].\sum_{n=1}^{x} [|\mathfrak{f}(n)|, 0] = [\Xi, 0].

となる Ξ\Xi が存在する。

証明: M\mathfrak{M} を、(任意の f(n)\mathfrak{f}(n) に対して)このような Ξ\Xi が存在する xx の集合とする。

I) f(1)\mathfrak{f}(1) が定義されているならば、

∣∑n=11f(n)∣=∣f(1)∣,\left| \sum_{n=1}^{1} \mathfrak{f}(n) \right| = |\mathfrak{f}(1)|, ∑n=11[∣f(n)∣,0]=[∣f(1)∣,0];\sum_{n=1}^{1} [|\mathfrak{f}(n)|, 0] = [|\mathfrak{f}(1)|, 0];

であるから、

Ξ=∣f(1)∣\Xi = |\mathfrak{f}(1)|

が x=1x = 1 において求めるものとなる。したがって 1 は M\mathfrak{M} に属する。

II) xx が M\mathfrak{M} に属するとする。f(n)\mathfrak{f}(n) が n≦x+1n \leqq x + 1 に対して定義されているならば、

∣∑n=1xf(n)∣≦Ξ1,\left| \sum_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) \right| \leqq \Xi_1, ∑n=1x[∣f(n)∣,0]=[Ξ1,0].\sum_{n=1}^{x} [|\mathfrak{f}(n)|, 0] = [\Xi_1, 0].

となる Ξ1\Xi_1 が存在する。

定理 278 と定理 271 により

∣∑n=1x+1f(n)∣=∣∑n=1xf(n)+f(x+1)∣≦∣∑n=1xf(n)∣+∣f(x+1)∣≦Ξ1+∣f(x+1)∣,\left| \sum_{n=1}^{x+1} \mathfrak{f}(n) \right| = \left| \sum_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) + \mathfrak{f}(x + 1) \right| \leqq \left| \sum_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) \right| + |\mathfrak{f}(x + 1)| \leqq \Xi_1 + |\mathfrak{f}(x + 1)|,

であるから、

Ξ=Ξ1+∣f(x+1)∣\Xi = \Xi_1 + |\mathfrak{f}(x + 1)|

とおけば、

∣∑n=1x+1f(n)∣≦Ξ.\left| \sum_{n=1}^{x+1} \mathfrak{f}(n) \right| \leqq \Xi.

である。

他方、定理 278 により

∑n=1x+1[∣f(n)∣,0]=∑n=1x[∣f(n)∣,0]+[∣f(x+1)∣,0]=[Ξ1,0]+[∣f(x+1)∣,0]=[Ξ1+∣f(x+1)∣,0+0]=[Ξ,0].\sum_{n=1}^{x+1} [|\mathfrak{f}(n)|, 0] = \sum_{n=1}^{x} [|\mathfrak{f}(n)|, 0] + [|\mathfrak{f}(x + 1)|, 0] = [\Xi_1, 0] + [|\mathfrak{f}(x + 1)|, 0] = [\Xi_1 + |\mathfrak{f}(x + 1)|, 0 + 0] = [\Xi, 0].

である。

したがって Ξ\Xi は x+1x + 1 において求めるものとなる。ゆえに x+1x + 1 は M\mathfrak{M} に属し、定理は証明された。

定理 288: f(n)\mathfrak{f}(n) が n≦xn \leqq x に対して定義されているならば、

[∣∏n=1xf(n)∣,0]=∏n=1x[∣f(n)∣,0].\left[ \left| \prod_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) \right|, 0 \right] = \prod_{n=1}^{x} [|\mathfrak{f}(n)|, 0].

である。

証明: M\mathfrak{M} をこれが成り立つ xx の集合とする。

I) f(1)\mathfrak{f}(1) が定義されているならば、

[∣∏n=11f(n)∣,0]=[∣f(1)∣,0]=∏n=11[∣f(n)∣,0].\left[ \left| \prod_{n=1}^{1} \mathfrak{f}(n) \right|, 0 \right] = [|\mathfrak{f}(1)|, 0] = \prod_{n=1}^{1} [|\mathfrak{f}(n)|, 0].

である。したがって 1 は M\mathfrak{M} に属する。

II) xx が M\mathfrak{M} に属するとする。f(n)\mathfrak{f}(n) が n≦x+1n \leqq x + 1 に対して定義されているならば、定理 278 と定理 268 により

∏n=1x+1[∣f(n)∣,0]=∏n=1x[∣f(n)∣,0]⋅[∣f(x+1)∣,0]=[∣∏n=1xf(n)∣,0]⋅[∣f(x+1)∣,0]=[∣∏n=1xf(n)∣⋅∣f(x+1)∣−0⋅0, ∣∏n=1xf(n)∣⋅0+0⋅∣f(x+1)∣]=[∣∏n=1xf(n)∣⋅∣f(x+1)∣,0]=[∣∏n=1xf(n)⋅f(x+1)∣,0]=[∣∏n=1x+1f(n)∣,0],\begin{aligned} \prod_{n=1}^{x+1} [|\mathfrak{f}(n)|, 0] &= \prod_{n=1}^{x} [|\mathfrak{f}(n)|, 0] \cdot [|\mathfrak{f}(x + 1)|, 0] \\ &= \left[ \left| \prod_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) \right|, 0 \right] \cdot [|\mathfrak{f}(x + 1)|, 0] \\ &= \left[ \left| \prod_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) \right| \cdot |\mathfrak{f}(x + 1)| - 0 \cdot 0,\ \left| \prod_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) \right| \cdot 0 + 0 \cdot |\mathfrak{f}(x + 1)| \right] \\ &= \left[ \left| \prod_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) \right| \cdot |\mathfrak{f}(x + 1)|, 0 \right] = \left[ \left| \prod_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) \cdot \mathfrak{f}(x + 1) \right|, 0 \right] \\ &= \left[ \left| \prod_{n=1}^{x+1} \mathfrak{f}(n) \right|, 0 \right], \end{aligned}

である。したがって x+1x + 1 は M\mathfrak{M} に属し、定理は証明された。

定理 289: f(n)\mathfrak{f}(n) が n≦xn \leqq x に対して定義されているならば、

∏n=1xf(n)=n\prod_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) = \mathfrak{n}

となるのは、

f(n)=n\mathfrak{f}(n) = \mathfrak{n}

となる n≦xn \leqq x が存在するとき、またそのときに限る。

証明: M\mathfrak{M} をこれが成り立つ xx の集合とする。

I)

∏n=11f(n)=n\prod_{n=1}^{1} \mathfrak{f}(n) = \mathfrak{n}

は

f(1)=n\mathfrak{f}(1) = \mathfrak{n}

と同一である。したがって 1 は M\mathfrak{M} に属する。

II) xx が M\mathfrak{M} に属するとする。

∏n=1x+1f(n)=n\prod_{n=1}^{x+1} \mathfrak{f}(n) = \mathfrak{n}

は

∏n=1xf(n)⋅f(x+1)=n;\prod_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) \cdot \mathfrak{f}(x + 1) = \mathfrak{n};

を意味する。定理 221 により、このためには

∏n=1xf(n)=nまたはf(x+1)=n,\prod_{n=1}^{x} \mathfrak{f}(n) = \mathfrak{n} \quad \text{または} \quad \mathfrak{f}(x + 1) = \mathfrak{n},

が必要かつ十分であり、したがって(xx が M\mathfrak{M} に属するから)

f(n)=n(ある n≦x または n=x+1 のとき).\mathfrak{f}(n) = \mathfrak{n} \quad (\text{ある } n \leqq x \text{ または } n = x + 1 \text{ のとき}).

が必要かつ十分である。

ゆえに x+1x + 1 は M\mathfrak{M} に属し、定理は証明された。

§ 9. 冪

この § では、小さいラテン文字は整数を表すものとする。

定義 71:

xx={∏n=1xx(x>0 のとき),e(x≠n, x=0 のとき),ex∣x∣(x≠n, x<0 のとき).\mathfrak{x}^x = \begin{cases} \displaystyle\prod_{n=1}^{x} \mathfrak{x} & (x > 0 \text{ のとき}), \\ \mathfrak{e} & (\mathfrak{x} \neq \mathfrak{n},\ x = 0 \text{ のとき}), \\ \dfrac{\mathfrak{e}}{\mathfrak{x}^{|x|}} & (\mathfrak{x} \neq \mathfrak{n},\ x < 0 \text{ のとき}). \end{cases}

(読み方:x\mathfrak{x} の xx 乗。)したがって xx\mathfrak{x}^x が定義されないのは、

x=n,x≦0\mathfrak{x} = \mathfrak{n}, \quad x \leqq 0

の場合だけである。

x≠n,x<0\mathfrak{x} \neq \mathfrak{n}, \quad x < 0

に対しては、定義 71 の第一行と定理 289 により

x∣x∣≠n\mathfrak{x}^{|x|} \neq \mathfrak{n}

であり、したがってそのとき ex∣x∣\frac{\mathfrak{e}}{\mathfrak{x}^{|x|}} が意味をもつことに注意せよ。

定理 290:

x≠n\mathfrak{x} \neq \mathfrak{n}

に対して

xx≠n\mathfrak{x}^x \neq \mathfrak{n}

である。

証明: x>0x > 0 に対してはこれは定理 289 から従い、x=0x = 0 に対しては定義から、x<0x < 0 に対しては

xxx∣x∣≠n\mathfrak{x}^x \mathfrak{x}^{|x|} \neq \mathfrak{n}

から従う。

定理 291: x1=x\mathfrak{x}^1 = \mathfrak{x}.

証明:

x1=∏n=11x=x.\mathfrak{x}^1 = \prod_{n=1}^{1} \mathfrak{x} = \mathfrak{x}.

定理 292:

x>0x > 0

または

x≠n,y≠n\mathfrak{x} \neq \mathfrak{n}, \quad \mathfrak{y} \neq \mathfrak{n}

とする。このとき

(xy)x=xxyx(\mathfrak{x}\mathfrak{y})^x = \mathfrak{x}^x \mathfrak{y}^x

である。

前注: いずれにせよ両辺は意味をもつ。なぜなら x≦0x \leqq 0 のときは

xy≠n\mathfrak{x}\mathfrak{y} \neq \mathfrak{n}

だからである。

証明: 1) x\mathfrak{x}、y\mathfrak{y} を固定し、

(xy)x=xxyx(\mathfrak{x}\mathfrak{y})^x = \mathfrak{x}^x \mathfrak{y}^x

をみたす x>0x > 0 の集合を M\mathfrak{M} とする。

I) 定理 291 により

(xy)1=xy=x1y1(\mathfrak{x}\mathfrak{y})^1 = \mathfrak{x}\mathfrak{y} = \mathfrak{x}^1 \mathfrak{y}^1

であるから、1 は M\mathfrak{M} に属する。

II) xx が M\mathfrak{M} に属するならば、

(xy)x+1=∏n=1x+1(xy)=∏n=1x(xy)⋅(xy)=(xxyx)(xy)=(xxx)(yxy)=(∏n=1xx⋅x)(∏n=1xy⋅y)=∏n=1x+1x⋅∏n=1x+1y=xx+1yx+1\begin{aligned} (\mathfrak{x}\mathfrak{y})^{x+1} &= \prod_{n=1}^{x+1} (\mathfrak{x}\mathfrak{y}) = \prod_{n=1}^{x} (\mathfrak{x}\mathfrak{y}) \cdot (\mathfrak{x}\mathfrak{y}) = (\mathfrak{x}^x \mathfrak{y}^x)(\mathfrak{x}\mathfrak{y}) = (\mathfrak{x}^x \mathfrak{x})(\mathfrak{y}^x \mathfrak{y}) \\ &= \left(\prod_{n=1}^{x} \mathfrak{x} \cdot \mathfrak{x}\right)\left(\prod_{n=1}^{x} \mathfrak{y} \cdot \mathfrak{y}\right) = \prod_{n=1}^{x+1} \mathfrak{x} \cdot \prod_{n=1}^{x+1} \mathfrak{y} = \mathfrak{x}^{x+1} \mathfrak{y}^{x+1} \end{aligned}

であり、したがって x+1x + 1 は M\mathfrak{M} に属する。

したがって x>0x > 0 に対してつねに

(xy)x=xxyx(\mathfrak{x}\mathfrak{y})^x = \mathfrak{x}^x \mathfrak{y}^x

である。

x=0,x≠n,y≠nx = 0, \quad \mathfrak{x} \neq \mathfrak{n}, \quad \mathfrak{y} \neq \mathfrak{n}

とする。このとき

(xy)x=e=ee=xxyx(\mathfrak{x}\mathfrak{y})^x = \mathfrak{e} = \mathfrak{e}\mathfrak{e} = \mathfrak{x}^x \mathfrak{y}^x

である。

x<0,x≠n,y≠nx < 0, \quad \mathfrak{x} \neq \mathfrak{n}, \quad \mathfrak{y} \neq \mathfrak{n}

とする。1) により

(xy)∣x∣=x∣x∣y∣x∣,(\mathfrak{x}\mathfrak{y})^{|x|} = \mathfrak{x}^{|x|} \mathfrak{y}^{|x|}, e(xy)∣x∣=ex∣x∣y∣x∣=ex∣x∣⋅ey∣x∣,\frac{\mathfrak{e}}{(\mathfrak{x}\mathfrak{y})^{|x|}} = \frac{\mathfrak{e}}{\mathfrak{x}^{|x|} \mathfrak{y}^{|x|}} = \frac{\mathfrak{e}}{\mathfrak{x}^{|x|}} \cdot \frac{\mathfrak{e}}{\mathfrak{y}^{|x|}}, (xy)x=xxyx.(\mathfrak{x}\mathfrak{y})^x = \mathfrak{x}^x \mathfrak{y}^x.

定理 293: ex=e\mathfrak{e}^x = \mathfrak{e}.

証明: 定理 292 により

exe=ex=(ee)x=exex,\mathfrak{e}^x \mathfrak{e} = \mathfrak{e}^x = (\mathfrak{e}\mathfrak{e})^x = \mathfrak{e}^x \mathfrak{e}^x, n=exex−exe=ex(ex−e),\mathfrak{n} = \mathfrak{e}^x \mathfrak{e}^x - \mathfrak{e}^x \mathfrak{e} = \mathfrak{e}^x (\mathfrak{e}^x - \mathfrak{e}),

したがって(定理 290 と定理 221 により)

ex−e=n,\mathfrak{e}^x - \mathfrak{e} = \mathfrak{n}, ex=e.\mathfrak{e}^x = \mathfrak{e}.

定理 294:

x>0,y>0x > 0, \quad y > 0

または

x≠n\mathfrak{x} \neq \mathfrak{n}

とする。このとき

xxxy=xx+y\mathfrak{x}^x \mathfrak{x}^y = \mathfrak{x}^{x+y}

である。

証明: 1)

x>0,y>0x > 0, \quad y > 0

とする。このとき定理 281 により

xxxy=∏n=1xx⋅∏n=1yx=∏n=1x+yx=xx+y.\mathfrak{x}^x \mathfrak{x}^y = \prod_{n=1}^{x} \mathfrak{x} \cdot \prod_{n=1}^{y} \mathfrak{x} = \prod_{n=1}^{x+y} \mathfrak{x} = \mathfrak{x}^{x+y}.
x≠n\mathfrak{x} \neq \mathfrak{n}

とし、かつ

x>0,y>0x > 0, \quad y > 0

が同時には成り立たないとする。

α)

x<0,y<0x < 0, \quad y < 0

とする。このとき 1) により

x∣x∣x∣y∣=x∣x∣+∣y∣=x∣x+y∣,\mathfrak{x}^{|x|} \mathfrak{x}^{|y|} = \mathfrak{x}^{|x|+|y|} = \mathfrak{x}^{|x+y|}, xxxy=ex∣x∣⋅ex∣y∣=ex∣x∣x∣y∣=ex∣x+y∣=xx+y.\mathfrak{x}^x \mathfrak{x}^y = \frac{\mathfrak{e}}{\mathfrak{x}^{|x|}} \cdot \frac{\mathfrak{e}}{\mathfrak{x}^{|y|}} = \frac{\mathfrak{e}}{\mathfrak{x}^{|x|} \mathfrak{x}^{|y|}} = \frac{\mathfrak{e}}{\mathfrak{x}^{|x+y|}} = \mathfrak{x}^{x+y}.

β)

x>0,y<0x > 0, \quad y < 0

とする。このとき

xxxy=xxex∣y∣=xxx∣y∣.\mathfrak{x}^x \mathfrak{x}^y = \mathfrak{x}^x \frac{\mathfrak{e}}{\mathfrak{x}^{|y|}} = \frac{\mathfrak{x}^x}{\mathfrak{x}^{|y|}}.

A)

x>∣y∣x > |y|

に対しては、1) により

xxx∣y∣=x∣y∣xx−∣y∣x∣y∣=xx−∣y∣=xx+y.\frac{\mathfrak{x}^x}{\mathfrak{x}^{|y|}} = \frac{\mathfrak{x}^{|y|} \mathfrak{x}^{x-|y|}}{\mathfrak{x}^{|y|}} = \mathfrak{x}^{x-|y|} = \mathfrak{x}^{x+y}.

B)

x=∣y∣x = |y|

に対しては、

xxx∣y∣=e=x0=xx+y.\frac{\mathfrak{x}^x}{\mathfrak{x}^{|y|}} = \mathfrak{e} = \mathfrak{x}^0 = \mathfrak{x}^{x+y}.

C)

x<∣y∣x < |y|

に対しては、1) により

xxx∣y∣=xxexxx∣y∣−x=ex∣y∣−x=xx−∣y∣=xx+y.\frac{\mathfrak{x}^x}{\mathfrak{x}^{|y|}} = \mathfrak{x}^x \frac{\mathfrak{e}}{\mathfrak{x}^x \mathfrak{x}^{|y|-x}} = \frac{\mathfrak{e}}{\mathfrak{x}^{|y|-x}} = \mathfrak{x}^{x-|y|} = \mathfrak{x}^{x+y}.

γ)

x<0,y>0x < 0, \quad y > 0

とする。このとき β) により

xxxy=xyxx=xy+x=xx+y.\mathfrak{x}^x \mathfrak{x}^y = \mathfrak{x}^y \mathfrak{x}^x = \mathfrak{x}^{y+x} = \mathfrak{x}^{x+y}.

δ)

x=0x = 0

とする。このとき

xxxy=exy=xy=x0+y=xx+y.\mathfrak{x}^x \mathfrak{x}^y = \mathfrak{e} \mathfrak{x}^y = \mathfrak{x}^y = \mathfrak{x}^{0+y} = \mathfrak{x}^{x+y}.

ε)

x≠0,y=0x \neq 0, \quad y = 0

とする。このとき δ) により

xxxy=xyxx=xy+x=xx+y.\mathfrak{x}^x \mathfrak{x}^y = \mathfrak{x}^y \mathfrak{x}^x = \mathfrak{x}^{y+x} = \mathfrak{x}^{x+y}.

定理 295:

x≠n\mathfrak{x} \neq \mathfrak{n}

に対して

xxxy=xx−y\frac{\mathfrak{x}^x}{\mathfrak{x}^y} = \mathfrak{x}^{x-y}

である。

証明: 定理 294 により

xx−yxy=x(x−y)+y=xx;\mathfrak{x}^{x-y} \mathfrak{x}^y = \mathfrak{x}^{(x-y)+y} = \mathfrak{x}^x;

定理 290 により

xy≠n\mathfrak{x}^y \neq \mathfrak{n}

であるから、

xxxy=xx−y.\frac{\mathfrak{x}^x}{\mathfrak{x}^y} = \mathfrak{x}^{x-y}.

定理 296:

x≠n\mathfrak{x} \neq \mathfrak{n}

に対して

exx=x−x\frac{\mathfrak{e}}{\mathfrak{x}^x} = \mathfrak{x}^{-x}

である。

証明: 定理 295 により

exx=x0xx=x0−x=x−x.\frac{\mathfrak{e}}{\mathfrak{x}^x} = \frac{\mathfrak{x}^0}{\mathfrak{x}^x} = \mathfrak{x}^{0-x} = \mathfrak{x}^{-x}.

定理 297:

x>0,y>0x > 0, \quad y > 0

または

x≠n\mathfrak{x} \neq \mathfrak{n}

とする。このとき

(xx)y=xxy(\mathfrak{x}^x)^y = \mathfrak{x}^{xy}

である。

証明: 1)

x=n,x>0,y>0\mathfrak{x} = \mathfrak{n}, \quad x > 0, \quad y > 0

とする。このとき定理 289 により

(xx)y=(nx)y=ny=n=nxy=xxy.(\mathfrak{x}^x)^y = (\mathfrak{n}^x)^y = \mathfrak{n}^y = \mathfrak{n} = \mathfrak{n}^{xy} = \mathfrak{x}^{xy}.
x≠n\mathfrak{x} \neq \mathfrak{n}

とする。

a) x\mathfrak{x}、xx を固定し、

(xx)y=xxy(\mathfrak{x}^x)^y = \mathfrak{x}^{xy}

をみたす y>0y > 0 の集合を M\mathfrak{M} とする。

I) (xx)1=xx=xx⋅1(\mathfrak{x}^x)^1 = \mathfrak{x}^x = \mathfrak{x}^{x \cdot 1};

したがって 1 は M\mathfrak{M} に属する。

II) yy が M\mathfrak{M} に属するとする。このとき定理 294 により

(xx)y+1=(xx)y(xx)1=xxyxx=xxy+x=xx(y+1)(\mathfrak{x}^x)^{y+1} = (\mathfrak{x}^x)^y (\mathfrak{x}^x)^1 = \mathfrak{x}^{xy} \mathfrak{x}^x = \mathfrak{x}^{xy+x} = \mathfrak{x}^{x(y+1)}

であり、したがって y+1y + 1 は M\mathfrak{M} に属する。

したがって y>0y > 0 に対して主張は正しい。

b)

y=0y = 0

とする。このとき

(xx)y=e=xxy.(\mathfrak{x}^x)^y = \mathfrak{e} = \mathfrak{x}^{xy}.

c)

y<0y < 0

とする。このとき a) により

(xx)∣y∣=xx∣y∣,(\mathfrak{x}^x)^{|y|} = \mathfrak{x}^{x|y|},

したがって定理 296 と a) により

(xx)y=e(xx)−y=e(xx)∣y∣=exx∣y∣=x−(x∣y∣)=xxy.(\mathfrak{x}^x)^y = \frac{\mathfrak{e}}{(\mathfrak{x}^x)^{-y}} = \frac{\mathfrak{e}}{(\mathfrak{x}^x)^{|y|}} = \frac{\mathfrak{e}}{\mathfrak{x}^{x|y|}} = \mathfrak{x}^{-(x|y|)} = \mathfrak{x}^{xy}.

§ 10. 実数の埋め込み

定理 298:

[Ξ+H,0]=[Ξ,0]+[H,0];[Ξ−H,0]=[Ξ,0]−[H,0];[ΞH,0]=[Ξ,0][H,0];[ΞH,0]=[Ξ,0][H,0],(H≠0 のとき);[−Ξ,0]=−[Ξ,0];∣[Ξ,0]∣=∣Ξ∣.\begin{aligned} [\Xi + H, 0] &= [\Xi, 0] + [H, 0]; \\ [\Xi - H, 0] &= [\Xi, 0] - [H, 0]; \\ [\Xi H, 0] &= [\Xi, 0][H, 0]; \\ \left[\frac{\Xi}{H}, 0\right] &= \frac{[\Xi, 0]}{[H, 0]}, \quad (H \neq 0 \text{ のとき}); \\ [-\Xi, 0] &= -[\Xi, 0]; \\ |[\Xi, 0]| &= |\Xi|. \end{aligned}

証明: 1)

[Ξ,0]+[H,0]=[Ξ+H,0+0]=[Ξ+H,0].[\Xi, 0] + [H, 0] = [\Xi + H, 0 + 0] = [\Xi + H, 0].
[Ξ,0]−[H,0]=[Ξ−H,0−0]=[Ξ−H,0].[\Xi, 0] - [H, 0] = [\Xi - H, 0 - 0] = [\Xi - H, 0].
[Ξ,0][H,0]=[ΞH−0⋅0,Ξ⋅0+0⋅H]=[ΞH,0].[\Xi, 0][H, 0] = [\Xi H - 0 \cdot 0, \Xi \cdot 0 + 0 \cdot H] = [\Xi H, 0].
    1. により、H≠0H \neq 0 ならば
[H,0][ΞH,0]=[H⋅ΞH,0]=[Ξ,0],[H, 0]\left[\frac{\Xi}{H}, 0\right] = \left[H \cdot \frac{\Xi}{H}, 0\right] = [\Xi, 0], [Ξ,0][H,0]=[ΞH,0].\frac{[\Xi, 0]}{[H, 0]} = \left[\frac{\Xi}{H}, 0\right].
−[Ξ,0]=[−Ξ,−0]=[−Ξ,0].-[\Xi, 0] = [-\Xi, -0] = [-\Xi, 0].
∣Ξ∣=∣Ξ∣ ∣Ξ∣=ΞΞ=ΞΞ+0⋅0=∣[Ξ,0]∣.|\Xi| = \sqrt{|\Xi|\,|\Xi|} = \sqrt{\Xi\Xi} = \sqrt{\Xi\Xi + 0 \cdot 0} = |[\Xi, 0]|.

定理 299: [x,0][x, 0] の形の複素数は、1 の代わりに [1,0][1, 0] をとり、

[x,0]′=[x′,0][x, 0]' = [x', 0]

と置くならば、自然数の五つの公理をみたす。

証明: [x,0][x, 0] の集合を [Z][\mathfrak{Z}] とする。

  1. [1,0][1, 0] は [Z][\mathfrak{Z}] に属する。

  2. [x,0][x, 0] とともに [x,0]′[x, 0]' も [Z][\mathfrak{Z}] に存在する。

  3. つねに

x′≠1x' \neq 1

であるから、

[x′,0]≠[1,0],[x', 0] \neq [1, 0], [x,0]′≠[1,0].[x, 0]' \neq [1, 0].
[x,0]′=[y,0]′[x, 0]' = [y, 0]'

から

[x′,0]=[y′,0],[x', 0] = [y', 0], x′=y′,x' = y', x=y,x = y, [x,0]=[y,0][x, 0] = [y, 0]

が従う。

  1. [Z][\mathfrak{Z}] の数からなる集合 [M][\mathfrak{M}] が次の性質をもつとする:

I) [1,0][1, 0] は [M][\mathfrak{M}] に属する。

II) [x,0][x, 0] が [M][\mathfrak{M}] に属するならば、[x,0]′[x, 0]' は [M][\mathfrak{M}] に属する。

そこで、[x,0][x, 0] が [M][\mathfrak{M}] に属するような xx の集合を M\mathfrak{M} で表す。すると 1 は M\mathfrak{M} に属し、M\mathfrak{M} の各 xx とともに x′x' も M\mathfrak{M} に属する。したがってすべての正の整数 xx は M\mathfrak{M} に属し、したがってすべての [x,0][x, 0] は [M][\mathfrak{M}] に属する。

二つの [Ξ,0][\Xi, 0] の和・差・積および(存在する場合には)商は、定理 298 により旧来の概念に対応し、記号 −[Ξ,0]-[\Xi, 0] と ∣[Ξ,0]∣|[\Xi, 0]| も同様であり、また

[Ξ,0]>[H,0](Ξ>H のとき),[\Xi, 0] > [H, 0] \quad (\Xi > H \text{ のとき}), [Ξ,0]<[H,0](Ξ<H のとき)[\Xi, 0] < [H, 0] \quad (\Xi < H \text{ のとき})

と定義することができるから、複素数 [Ξ,0][\Xi, 0] は、我々が第4章で実数について証明したすべての性質をもち、特に数 [x,0][x, 0] は、正の整数について証明されたすべての性質をもつ。

それゆえ我々は実数を捨て去り、それを対応する複素数 [Ξ,0][\Xi, 0] で置き換え、以後は複素数についてのみ語ればよい。(ただし実数は、複素数の概念の中に対として残っている。)

定義 72: (自由になった記号)Ξ\Xi は複素数 [Ξ,0][\Xi, 0] を表し、実数という言葉もこれに移る。同様に以後、[Ξ,0][\Xi, 0] を、Ξ\Xi が整数のとき整数、Ξ\Xi が有理数のとき有理数、Ξ\Xi が無理数のとき無理数、Ξ\Xi が正のとき正の数、Ξ\Xi が負のとき負の数と呼ぶ。

したがって例えば、n\mathfrak{n} の代わりに 0、e\mathfrak{e} の代わりに 1 と書く。

今や我々は複素数を、任意のアルファベットの小文字あるいは大文字で(混用してもよい)表すことができる。ただし次の特別な数については、小さいラテン文字を用いるのが慣例である。それは次の定義に基づく。

定義 73: i=[0,1]i = [0, 1].

定理 300: i⋅i=−1i \cdot i = -1.

証明:

i⋅i=[0,1][0,1]=[0⋅0−1⋅1,0⋅1+1⋅0]=[−1,0]=−1.i \cdot i = [0, 1][0, 1] = [0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0] = [-1, 0] = -1.

定理 301: 実数 u1u_1、u2u_2 に対して

u1+u2i=[u1,u2]u_1 + u_2 i = [u_1, u_2]

である。したがって各複素数 xx に対して、

x=u1+u2ix = u_1 + u_2 i

をみたす実数の対 u1u_1、u2u_2 がちょうど一つ存在する。

証明: 実数 u1u_1、u2u_2 に対して

u1+u2i=[u1,0]+[u2,0][0,1]=[u1,0]+[u2⋅0−0⋅1,u2⋅1+0⋅0]=[u1,0]+[0,u2]=[u1,u2].u_1 + u_2 i = [u_1, 0] + [u_2, 0][0, 1] = [u_1, 0] + [u_2 \cdot 0 - 0 \cdot 1, u_2 \cdot 1 + 0 \cdot 0] = [u_1, 0] + [0, u_2] = [u_1, u_2].

定理 301 によって記号 [ ][\ ] は不要になった。複素数とはまさに、u1u_1 と u2u_2 が実数であるような数 u1+u2iu_1 + u_2 i のことである。等しい対 u1u_1、u2u_2 には等しい数が、異なる対には異なる数が対応し、二つの複素数 u1+u2iu_1 + u_2 i、v1+v2iv_1 + v_2 i(u1u_1、u2u_2、v1v_1、v2v_2 は実数)の和・差・積は次の公式によって作る。

(u1+u2i)+(v1+v2i)=(u1+v1)+(u2+v2)i,(u1+u2i)−(v1+v2i)=(u1−v1)+(u2−v2)i,(u1+u2i)(v1+v2i)=(u1v1−u2v2)+(u1v2+u2v1)i.\begin{aligned} (u_1 + u_2 i) + (v_1 + v_2 i) &= (u_1 + v_1) + (u_2 + v_2) i, \\ (u_1 + u_2 i) - (v_1 + v_2 i) &= (u_1 - v_1) + (u_2 - v_2) i, \\ (u_1 + u_2 i)(v_1 + v_2 i) &= (u_1 v_1 - u_2 v_2) + (u_1 v_2 + u_2 v_1) i. \end{aligned}

これらの公式を覚える必要すらなく、実数の諸法則が保たれることと定理 300 が成り立つことだけを覚えておけばよい。それに従えば、単に次のように計算すればよい。

(u1+u2i)+(v1+v2i)=(u1+v1)+(u2i+v2i)=(u1+v1)+(u2+v2)i,(u_1 + u_2 i) + (v_1 + v_2 i) = (u_1 + v_1) + (u_2 i + v_2 i) = (u_1 + v_1) + (u_2 + v_2) i, (u1+u2i)−(v1+v2i)=(u1−v1)+(u2i−v2i)=(u1−v1)+(u2−v2)i,(u_1 + u_2 i) - (v_1 + v_2 i) = (u_1 - v_1) + (u_2 i - v_2 i) = (u_1 - v_1) + (u_2 - v_2) i, (u1+u2i)(v1+v2i)=(u1+u2i)v1+(u1+u2i)v2i=u1v1+u2iv1+u1v2i+u2iv2i=u1v1+u2v1i+u1v2i+u2v2ii=u1v1+u2v1i+u1v2i+u2v2(−1)=(u1v1−u2v2)+(u1v2+u2v1)i.\begin{aligned} (u_1 + u_2 i)(v_1 + v_2 i) &= (u_1 + u_2 i) v_1 + (u_1 + u_2 i) v_2 i \\ &= u_1 v_1 + u_2 i v_1 + u_1 v_2 i + u_2 i v_2 i \\ &= u_1 v_1 + u_2 v_1 i + u_1 v_2 i + u_2 v_2 i i \\ &= u_1 v_1 + u_2 v_1 i + u_1 v_2 i + u_2 v_2 (-1) \\ &= (u_1 v_1 - u_2 v_2) + (u_1 v_2 + u_2 v_1) i. \end{aligned}

除法については、v1v_1 と v2v_2 がともに 0 ではないとき、計算によって、定理 301 の意味での標準的な表示として

u1+u2iv1+v2i=(u1+u2i)(v1−v2i)(v1+v2i)(v1−v2i)=(u1v1+u2v2)+(−(u1v2)+u2v1)i(v1v1+v2v2)+(−(v1v2)+v2v1)i=(u1v1+u2v2)+(−(u1v2)+u2v1)iv1v1+v2v2=u1v1+u2v2v1v1+v2v2+−(u1v2)+u2v1v1v1+v2v2 i\begin{aligned} \frac{u_1 + u_2 i}{v_1 + v_2 i} &= \frac{(u_1 + u_2 i)(v_1 - v_2 i)}{(v_1 + v_2 i)(v_1 - v_2 i)} = \frac{(u_1 v_1 + u_2 v_2) + (-(u_1 v_2) + u_2 v_1) i}{(v_1 v_1 + v_2 v_2) + (-(v_1 v_2) + v_2 v_1) i} \\ &= \frac{(u_1 v_1 + u_2 v_2) + (-(u_1 v_2) + u_2 v_1) i}{v_1 v_1 + v_2 v_2} = \frac{u_1 v_1 + u_2 v_2}{v_1 v_1 + v_2 v_2} + \frac{-(u_1 v_2) + u_2 v_1}{v_1 v_1 + v_2 v_2}\, i \end{aligned}

が得られる。