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Grundlagen der Analysis

第4章 実数

§ 1. 定義

定義 43: 切断をこれからは正の数と呼ぶ。またこれに応じて、これまで有理数と呼んでいたものを正の有理数、これまで整数と呼んでいたものを正の整数と言うことにする。

われわれは、正の数とは異なる新しい数 0(零と読む)を創造する。

さらに、正の数とも 0 とも異なる数、負の数と呼ばれるものを創造する。すなわち、各 ξ\xi(つまり各正の数)に対して一つの負の数を対応させ、これを −ξ-\xi(−- はマイナスと読む)と呼ぶ。

その際、−ξ-\xi と −η-\eta が同じ数である(等しい)とみなされるのは、ξ\xi と η\eta が同じ数であるとき、またそのときに限る。

正の数、0、および負の数の全体を実数と呼ぶ。

大文字のギリシア文字は、特に断らない限り、常に実数を表す。等しいことを ==、等しくない(異なる)ことを ≠\neq と書く。

したがって、任意の Ξ\Xi と任意の H\mathrm{H} に対して、

Ξ=H,Ξ≠H\Xi = \mathrm{H}, \quad \Xi \neq \mathrm{H}

のうちのちょうど一つの場合が成り立つ。実数においては同一性と相等性の概念が融け合うので、次の三つの定理は自明である。

定理 163: Ξ=Ξ\Xi = \Xi。

定理 164:

Ξ=H\Xi = \mathrm{H}

から

H=Ξ.\mathrm{H} = \Xi.

が従う。

定理 165:

Ξ=H,H=Z\Xi = \mathrm{H}, \quad \mathrm{H} = \mathrm{Z}

から

Ξ=Z.\Xi = \mathrm{Z}.

が従う。

§ 2. 順序

定義 44:

∣Ξ∣={ξ,(Ξ=ξ のとき),0,(Ξ=0 のとき),ξ,(Ξ=−ξ のとき).|\Xi| = \begin{cases} \xi, & (\Xi = \xi \text{ のとき}), \\ 0, & (\Xi = 0 \text{ のとき}), \\ \xi, & (\Xi = -\xi \text{ のとき}). \end{cases}

数 ∣Ξ∣|\Xi| を Ξ\Xi の絶対値と呼ぶ。

定理 166: ∣Ξ∣|\Xi| は、Ξ\Xi が正のときも負のときも正である。

証明: 定義 44。

定義 45: Ξ\Xi と H\mathrm{H} がともに正であるのではないとき、

Ξ>H\Xi > \mathrm{H}

であるのは、

Ξ\Xi が負、H\mathrm{H} が負で ∣Ξ∣<∣H∣|\Xi| < |\mathrm{H}| であるか、
または Ξ=0\Xi = 0、H\mathrm{H} が負であるか、
または Ξ\Xi が正、H\mathrm{H} が負であるか、
または Ξ\Xi が正、H=0\mathrm{H} = 0 であるとき、またそのときに限る。

(>> は「より大きい」と読む。)

正の Ξ\Xi と正の H\mathrm{H} に対しては >> と << の概念をすでに持っており、後者は定義 45 の一つの場合においてすでに用いたことに注意せよ。

定義 46:

Ξ<H\Xi < \mathrm{H}

であるのは、

H>Ξ.\mathrm{H} > \Xi.

のとき、またそのときに限る。

(<< は「より小さい」と読む。)

正の Ξ\Xi と正の H\mathrm{H} に対しては、定義 46 がわれわれの従来の概念と一致していることに注意せよ。

定理 167: Ξ\Xi、H\mathrm{H} が任意のとき、

Ξ=H,Ξ>H,Ξ<H\Xi = \mathrm{H}, \quad \Xi > \mathrm{H}, \quad \Xi < \mathrm{H}

のうちのちょうど一つの場合が成り立つ。

証明: 1) Ξ\Xi と H\mathrm{H} が正なら、これは定理 123 により分かっている。

  1. Ξ\Xi が正で、H=0\mathrm{H} = 0 または H\mathrm{H} が負なら、
Ξ≠H,\Xi \neq \mathrm{H},

であり、さらに定義 45 により

Ξ>H\Xi > \mathrm{H}

であり、定義 46 により

Ξ\Xi は <H< \mathrm{H} でない。

  1. Ξ=0\Xi = 0 で H\mathrm{H} が正なら、
Ξ≠H,\Xi \neq \mathrm{H},

であり、さらに定義 45 により

Ξ\Xi は >H> \mathrm{H} でなく、

定義 46 により

Ξ<H.\Xi < \mathrm{H}.

である。

  1. Ξ=0\Xi = 0、H=0\mathrm{H} = 0 なら、

Ξ=H\Xi = \mathrm{H} であり、
Ξ\Xi は >H> \mathrm{H} でなく、
Ξ\Xi は <H< \mathrm{H} でない。

  1. Ξ=0\Xi = 0 で H\mathrm{H} が負なら、

Ξ≠H\Xi \neq \mathrm{H} であり、
Ξ>H\Xi > \mathrm{H} であり、
Ξ\Xi は <H< \mathrm{H} でない。

  1. Ξ\Xi が負で、H\mathrm{H} が正または H=0\mathrm{H} = 0 なら、

Ξ≠H\Xi \neq \mathrm{H} であり、
Ξ\Xi は >H> \mathrm{H} でなく、
Ξ<H\Xi < \mathrm{H} である。

  1. Ξ\Xi が負、H\mathrm{H} が負なら、

∣Ξ∣<∣H∣|\Xi| < |\mathrm{H}| のとき、Ξ≠H\Xi \neq \mathrm{H}、Ξ>H\Xi > \mathrm{H} であり、Ξ\Xi は <H< \mathrm{H} でなく、
∣Ξ∣=∣H∣|\Xi| = |\mathrm{H}| のとき、Ξ=H\Xi = \mathrm{H} であり、Ξ\Xi は >H> \mathrm{H} でなく、Ξ\Xi は <H< \mathrm{H} でなく、
∣Ξ∣>∣H∣|\Xi| > |\mathrm{H}| のとき、Ξ≠H\Xi \neq \mathrm{H} であり、Ξ\Xi は >H> \mathrm{H} でなく、Ξ<H\Xi < \mathrm{H} である。

定義 47:

Ξ≧H\Xi \geqq \mathrm{H}

は

Ξ>H\Xi > \mathrm{H} または Ξ=H\Xi = \mathrm{H} を意味する。

(≧\geqq は「より大きいか等しい」と読む。)

定義 48:

Ξ≦H\Xi \leqq \mathrm{H}

は

Ξ<H\Xi < \mathrm{H} または Ξ=H\Xi = \mathrm{H} を意味する。

(≦\leqq は「より小さいか等しい」と読む。)

定理 168:

Ξ>H\Xi > \mathrm{H}

から

H<Ξ\mathrm{H} < \Xi

が従い、逆も成り立つ。

証明: 定義 46。

は確かである
2) とする
このとき
ゆえに
3) とする
このとき
Ξ≦0\Xi \leqq 0,
Ξ<Z\Xi < \mathrm{Z}.
Z=0\mathrm{Z} = 0.
H<0\mathrm{H} < 0,
Ξ<0\Xi < 0,
Ξ<Z\Xi < \mathrm{Z}.
Z<0\mathrm{Z} < 0.
H<0\mathrm{H} < 0,
Ξ<0\Xi < 0.

定理 169: 正の数とは >0> 0 なる数のことであり、負の数とは <0< 0 なる数のことである。

証明: 1) 定義 45 により

ξ>0.\xi > 0.

である。

Ξ>0\Xi > 0

から、定義 45 により

Ξ=ξ.\Xi = \xi.

が従う。

  1. 定義 46 により
−ξ<0.-\xi < 0.

である。

Ξ<0\Xi < 0

から、定義 46 により

Ξ=−ξ.\Xi = -\xi.

が従う。

定理 170: ∣Ξ∣≧0|\Xi| \geqq 0。

証明: 定義 44、定理 166 および定理 169。

定理 171(順序の推移律):

Ξ<H,H<Z\Xi < \mathrm{H}, \quad \mathrm{H} < \mathrm{Z}

から

Ξ<Z.\Xi < \mathrm{Z}.

が従う。

証明: 1)

Z>0.\mathrm{Z} > 0.

とする。

もし

Ξ>0,\Xi > 0,

ならば

H>0,\mathrm{H} > 0,

であり、従来の定理 126 が適用される。

もし

さらに

∣Ξ∣>∣H∣,∣H∣>∣Z∣,|\Xi| > |\mathrm{H}|, \quad |\mathrm{H}| > |\mathrm{Z}|,

であり、ゆえに

∣Ξ∣>∣Z∣,|\Xi| > |\mathrm{Z}|, Ξ<Z.\Xi < \mathrm{Z}.

である。

定理 172:

Ξ≦H, H<ZまたはΞ<H, H≦Z\Xi \leqq \mathrm{H}, \ \mathrm{H} < \mathrm{Z} \quad \text{または} \quad \Xi < \mathrm{H}, \ \mathrm{H} \leqq \mathrm{Z}

から

Ξ<Z.\Xi < \mathrm{Z}.

が従う。

証明: 仮定において等号が成り立つ場合は明らかであり、そうでない場合は定理 171 により片付く。

定理 173:

Ξ≦H,H≦Z\Xi \leqq \mathrm{H}, \quad \mathrm{H} \leqq \mathrm{Z}

から

Ξ≦Z.\Xi \leqq \mathrm{Z}.

が従う。

証明: 仮定において二つの等号が成り立つ場合は明らかであり、そうでない場合は定理 172 により片付く。

定義 49:

Ξ≦0,\Xi \leqq 0,

のとき、Ξ\Xi が有理であるとは、

Ξ=0\Xi = 0

であるか、または

Ξ<0\Xi < 0 で ∣Ξ∣|\Xi| が有理であることをいう。

こうしてわれわれは今や、正の有理数、有理数 0、および負の有理数を持つ。

定義 50:

Ξ≦0,\Xi \leqq 0,

のとき、Ξ\Xi が無理であるとは、それが有理でないことをいう。

こうしてわれわれは今や、正の無理数と負の無理数を持つ。(そのような数はあるのか?ある。われわれは無理な ξ\xi を持っていた。ゆえに正の数 ξ+X\xi + X は常に無理である。なぜなら

ξ+X=Y\xi + X = Y

から

ξ=Y−X;\xi = Y - X;

が従うことになるからである。そして −(ξ+X)-(\xi + X) は常に負の無理数である。)

定義 51:

Ξ≦0,\Xi \leqq 0,

のとき、Ξ\Xi が整であるとは、

Ξ=0\Xi = 0

であるか、または

Ξ<0\Xi < 0 で ∣Ξ∣|\Xi| が整であることをいう。

こうしてわれわれは今や、正の整数、整数 0、および負の整数を持つ。

定理 174: すべての整数は有理数である。

証明: 正の数についてはすでに分かっている。0 と負の数については定義 49 と定義 51 から従う。

§ 3. 加法

定義 52:

Ξ+H={−(∣Ξ∣+∣H∣),(Ξ<0, H<0 のとき);∣Ξ∣−∣H∣0−(∣H∣−∣Ξ∣)} ⁣,(Ξ>0, H<0 のとき), {∣Ξ∣>∣H∣;∣Ξ∣=∣H∣;∣Ξ∣<∣H∣;H+Ξ,(Ξ<0, H>0 のとき);H,(Ξ=0 のとき);Ξ,(H=0 のとき).\Xi + \mathrm{H} = \begin{cases} -(|\Xi| + |\mathrm{H}|), & (\Xi < 0,\ \mathrm{H} < 0 \text{ のとき}); \\ \left.\begin{matrix} |\Xi| - |\mathrm{H}| \\ 0 \\ -(|\mathrm{H}| - |\Xi|) \end{matrix}\right\}\!, & (\Xi > 0,\ \mathrm{H} < 0 \text{ のとき}), \ \begin{cases} |\Xi| > |\mathrm{H}|; \\ |\Xi| = |\mathrm{H}|; \\ |\Xi| < |\mathrm{H}|; \end{cases} \\ \mathrm{H} + \Xi, & (\Xi < 0,\ \mathrm{H} > 0 \text{ のとき}); \\ \mathrm{H}, & (\Xi = 0 \text{ のとき}); \\ \Xi, & (\mathrm{H} = 0 \text{ のとき}). \end{cases}

(++ は「プラス」と読む。)Ξ+H\Xi + \mathrm{H} は Ξ\Xi と H\mathrm{H} の和、または Ξ\Xi への H\mathrm{H} の加法によって生じる数と呼ばれる。

この定義については次のことに注意せよ:

  1. 次の場合
Ξ>0,H>0\Xi > 0, \quad \mathrm{H} > 0

には、Ξ+H\Xi + \mathrm{H} という概念はすでに定義 34 から得られている。

  1. この概念は定義 52 においても用いられた。

  2. 定義の第三の場合は、第二の場合における和の概念を用いている。

  3. 第四の場合と第五の場合は、次のとき互いに重なり合う:

Ξ=H=0;\Xi = \mathrm{H} = 0;

しかしそのとき、Ξ+H\Xi + \mathrm{H} として定義される数は同一(すなわち 0)である。

定理 175(加法の交換法則):

Ξ+H=H+Ξ.\Xi + \mathrm{H} = \mathrm{H} + \Xi.

証明: もし

Ξ=0\Xi = 0

ならば両方の数とも H\mathrm{H} であり、また

H=0\mathrm{H} = 0

ならば両方とも Ξ\Xi である。

また

Ξ>0,H>0\Xi > 0, \quad \mathrm{H} > 0

の場合には、既知の定理 130 がそのまま当てはまる。

また

Ξ<0,H<0\Xi < 0, \quad \mathrm{H} < 0

の場合には、定理 130 により

Ξ+H=−(∣Ξ∣+∣H∣)=−(∣H∣+∣Ξ∣)=H+Ξ.\Xi + \mathrm{H} = -(|\Xi| + |\mathrm{H}|) = -(|\mathrm{H}| + |\Xi|) = \mathrm{H} + \Xi.

また

Ξ<0,H>0\Xi < 0, \quad \mathrm{H} > 0

の場合には、主張はまさに定義そのものであった。

また

Ξ>0,H<0\Xi > 0, \quad \mathrm{H} < 0

の場合には、直前の場合により

H+Ξ=Ξ+H,\mathrm{H} + \Xi = \Xi + \mathrm{H},

ゆえに

Ξ+H=H+Ξ.\Xi + \mathrm{H} = \mathrm{H} + \Xi.

定義 53:

−Ξ={0(Ξ=0 のとき),∣Ξ∣(Ξ<0 のとき).-\Xi = \begin{cases} 0 & (\Xi = 0 \text{ のとき}), \\ |\Xi| & (\Xi < 0 \text{ のとき}). \end{cases}

(−- は「マイナス」と読む。)

Ξ>0\Xi > 0 に対しては、−Ξ-\Xi という概念をすでに定義 43 から得ていることに注意せよ。

定理 176: もし

Ξ>0 ないし Ξ=0 ないし Ξ<0,\Xi > 0 \ \text{ないし} \ \Xi = 0 \ \text{ないし} \ \Xi < 0,

ならば、それぞれ

−Ξ<0 ないし −Ξ=0 ないし −Ξ>0-\Xi < 0 \ \text{ないし} \ -\Xi = 0 \ \text{ないし} \ -\Xi > 0

であり、逆もまた成り立つ。

証明: 定義 43 と定義 53 による。

定理 177: −(−Ξ)=Ξ-(-\Xi) = \Xi.

証明: 定義 43、44 および 53 による。

定理 178: ∣−Ξ∣=∣Ξ∣|-\Xi| = |\Xi|.

証明: 定義 43、44 および 53 による。

定理 179: Ξ+(−Ξ)=0\Xi + (-\Xi) = 0.

証明: 定義 52、定義 53 および定理 178 による。

定理 180: −(Ξ+H)=−Ξ+(−H)-(\Xi + \mathrm{H}) = -\Xi + (-\mathrm{H}).

証明: 定理 175 により

−(Ξ+H)=−(H+Ξ)-(\Xi + \mathrm{H}) = -(\mathrm{H} + \Xi)

かつ

−Ξ+(−H)=−H+(−Ξ);-\Xi + (-\mathrm{H}) = -\mathrm{H} + (-\Xi);

であるから、一般性を制限することなく

Ξ≧H\Xi \geqq \mathrm{H}

を仮定してよい。なぜなら、二つの関係

Ξ≧H,H≧Ξ\Xi \geqq \mathrm{H}, \quad \mathrm{H} \geqq \Xi

のうち少なくとも一方が成り立ち、また

−(H+Ξ)=−H+(−Ξ)-(\mathrm{H} + \Xi) = -\mathrm{H} + (-\Xi)

からまさに

−(Ξ+H)=−Ξ+(−H).-(\Xi + \mathrm{H}) = -\Xi + (-\mathrm{H}).

が従うからである。そこで、以下では次を仮定する:

Ξ≧H.\Xi \geqq \mathrm{H}.
  1. もし
Ξ>0,H>0,\Xi > 0, \quad \mathrm{H} > 0,

ならば

−Ξ+(−H)=−(Ξ+H).-\Xi + (-\mathrm{H}) = -(\Xi + \mathrm{H}).
  1. もし
Ξ>0,H=0,\Xi > 0, \quad \mathrm{H} = 0,

ならば

−Ξ+(−H)=−Ξ+0=−Ξ=−(Ξ+0)=−(Ξ+H).-\Xi + (-\mathrm{H}) = -\Xi + 0 = -\Xi = -(\Xi + 0) = -(\Xi + \mathrm{H}).
  1. もし
Ξ>0,H<0,\Xi > 0, \quad \mathrm{H} < 0,

ならば

あるいは

Ξ>∣H∣,\Xi > |\mathrm{H}|,

したがって

Ξ+H=Ξ−∣H∣,\Xi + \mathrm{H} = \Xi - |\mathrm{H}|, −Ξ+(−H)=−Ξ+∣H∣=−(Ξ−∣H∣)=−(Ξ+H);-\Xi + (-\mathrm{H}) = -\Xi + |\mathrm{H}| = -(\Xi - |\mathrm{H}|) = -(\Xi + \mathrm{H});

あるいは

Ξ=∣H∣,\Xi = |\mathrm{H}|,

したがって

Ξ+H=0,\Xi + \mathrm{H} = 0, −Ξ+(−H)=−Ξ+∣H∣=0=−(Ξ+H);-\Xi + (-\mathrm{H}) = -\Xi + |\mathrm{H}| = 0 = -(\Xi + \mathrm{H});

あるいは

Ξ<∣H∣,\Xi < |\mathrm{H}|,

したがって

Ξ+H=−(∣H∣−Ξ),\Xi + \mathrm{H} = -(|\mathrm{H}| - \Xi), −Ξ+(−H)=−Ξ+∣H∣=∣H∣−Ξ=−(Ξ+H).-\Xi + (-\mathrm{H}) = -\Xi + |\mathrm{H}| = |\mathrm{H}| - \Xi = -(\Xi + \mathrm{H}).
  1. もし
Ξ=0,\Xi = 0,

ならば

−Ξ+(−H)=0+(−H)=−H=−(0+H)=−(Ξ+H).-\Xi + (-\mathrm{H}) = 0 + (-\mathrm{H}) = -\mathrm{H} = -(0 + \mathrm{H}) = -(\Xi + \mathrm{H}).
  1. もし
Ξ<0,\Xi < 0,

ならば

H<0,\mathrm{H} < 0, Ξ+H=−(∣Ξ∣+∣H∣),\Xi + \mathrm{H} = -(|\Xi| + |\mathrm{H}|), −Ξ+(−H)=∣Ξ∣+∣H∣=−(Ξ+H).-\Xi + (-\mathrm{H}) = |\Xi| + |\mathrm{H}| = -(\Xi + \mathrm{H}).

定義 54: Ξ−H=Ξ+(−H)\Xi - \mathrm{H} = \Xi + (-\mathrm{H}).

(−- は「マイナス」と読む。)Ξ−H\Xi - \mathrm{H} は差 Ξ\Xi マイナス H\mathrm{H}、または Ξ\Xi からの H\mathrm{H} の減法によって生じる数と呼ばれる。

定義 54 は(当然そうでなければならないが)

Ξ>H>0\Xi > \mathrm{H} > 0

のとき、以前の定義 35 と一致することに注意せよ。実際、そのときは

Ξ>0,−H<0,∣Ξ∣>∣−H∣,Ξ+(−H)=∣Ξ∣−∣−H∣=Ξ−H.\Xi > 0, \quad -\mathrm{H} < 0, \quad |\Xi| > |-\mathrm{H}|, \quad \Xi + (-\mathrm{H}) = |\Xi| - |-\mathrm{H}| = \Xi - \mathrm{H}.

定理 181: −(Ξ−H)=H−Ξ-(\Xi - \mathrm{H}) = \mathrm{H} - \Xi.

証明: 定理 180 と定理 177 により

−(Ξ−H)=−(Ξ+(−H))=−Ξ+(−(−H))=−Ξ+H=H+(−Ξ)=H−Ξ.-(\Xi - \mathrm{H}) = -(\Xi + (-\mathrm{H})) = -\Xi + (-(-\mathrm{H})) = -\Xi + \mathrm{H} = \mathrm{H} + (-\Xi) = \mathrm{H} - \Xi.

定理 182: もし

Ξ−H>0 ないし Ξ−H=0 ないし Ξ−H<0\Xi - \mathrm{H} > 0 \ \text{ないし} \ \Xi - \mathrm{H} = 0 \ \text{ないし} \ \Xi - \mathrm{H} < 0

ならば、それぞれ

Ξ>H ないし Ξ=H ないし Ξ<H\Xi > \mathrm{H} \ \text{ないし} \ \Xi = \mathrm{H} \ \text{ないし} \ \Xi < \mathrm{H}

であり、逆もまた成り立つ。

証明: −H-\mathrm{H} もまた任意の実数であるから、H\mathrm{H} の代わりに −H-\mathrm{H} と書いてよく、したがって

Ξ+H>0 ないし Ξ+H=0 ないし Ξ+H<0\Xi + \mathrm{H} > 0 \ \text{ないし} \ \Xi + \mathrm{H} = 0 \ \text{ないし} \ \Xi + \mathrm{H} < 0

と

Ξ>−H ないし Ξ=−H ないし Ξ<−H\Xi > -\mathrm{H} \ \text{ないし} \ \Xi = -\mathrm{H} \ \text{ないし} \ \Xi < -\mathrm{H}

とにおける場合の対応を示せばよい。

実際、Ξ=0\Xi = 0 または H=0\mathrm{H} = 0 のときは主張は明らかである。それ以外では、

Ξ>0,H>0\Xi > 0, \quad \mathrm{H} > 0

の場合と、定義 52 の最初の三つの場合とにおいて(ただし第三の場合は三つの小場合

∣H∣>∣Ξ∣,∣H∣=∣Ξ∣,∣H∣<∣Ξ∣|\mathrm{H}| > |\Xi|, \quad |\mathrm{H}| = |\Xi|, \quad |\mathrm{H}| < |\Xi|

に分けるものとする)、いずれの側にもそれぞれ次の記号が成り立つ:

> < > = < > = <.> \ < \ > \ = \ < \ > \ = \ <.

定理 183: もし

Ξ>H ないし Ξ=H ないし Ξ<H\Xi > \mathrm{H} \ \text{ないし} \ \Xi = \mathrm{H} \ \text{ないし} \ \Xi < \mathrm{H}

ならば、それぞれ

−Ξ<−H ないし −Ξ=−H ないし −Ξ>−H-\Xi < -\mathrm{H} \ \text{ないし} \ -\Xi = -\mathrm{H} \ \text{ないし} \ -\Xi > -\mathrm{H}

であり、逆もまた成り立つ。

証明: 定理 182 により、前者は次の場合に対応し

Ξ−H>0 ないし Ξ−H=0 ないし Ξ−H<0,\Xi - \mathrm{H} > 0 \ \text{ないし} \ \Xi - \mathrm{H} = 0 \ \text{ないし} \ \Xi - \mathrm{H} < 0,

後者は次の場合に対応する:

−H−(−Ξ)>0 ないし −H−(−Ξ)=0 ないし −H−(−Ξ)<0;-\mathrm{H} - (-\Xi) > 0 \ \text{ないし} \ -\mathrm{H} - (-\Xi) = 0 \ \text{ないし} \ -\mathrm{H} - (-\Xi) < 0;

ゆえに

−H−(−Ξ)=−H+(−(−Ξ))=−H+Ξ=Ξ+(−H)=Ξ−H-\mathrm{H} - (-\Xi) = -\mathrm{H} + (-(-\Xi)) = -\mathrm{H} + \Xi = \Xi + (-\mathrm{H}) = \Xi - \mathrm{H}

がすべてを与える。

定理 184: 任意の実数は、二つの正の数の差として表すことができる。

証明: 1) もし

Ξ>0,\Xi > 0,

ならば

Ξ=(Ξ+1)−1.\Xi = (\Xi + 1) - 1.
  1. もし
Ξ=0,\Xi = 0,

ならば

Ξ=1−1.\Xi = 1 - 1.
  1. もし
Ξ<0,\Xi < 0,

ならば

−Ξ=∣Ξ∣=(∣Ξ∣+1)−1,-\Xi = |\Xi| = (|\Xi| + 1) - 1, Ξ=−((∣Ξ∣+1)−1)=1−(∣Ξ∣+1).\Xi = -((|\Xi| + 1) - 1) = 1 - (|\Xi| + 1).

定理 185: もし

Ξ=ξ1−ξ2,H=η1−η2\Xi = \xi_1 - \xi_2, \quad \mathrm{H} = \eta_1 - \eta_2

ならば

Ξ+H=(ξ1+η1)−(ξ2+η2).\Xi + \mathrm{H} = (\xi_1 + \eta_1) - (\xi_2 + \eta_2).

証明: 1) いま

Ξ>0,H>0.\Xi > 0, \quad \mathrm{H} > 0.

とする。このとき、

(α+β)+(γ+δ)=(α+β)+(δ+γ)=((α+β)+δ)+γ=γ+(α+(β+δ))=(γ+α)+(β+δ)\begin{aligned} (\alpha + \beta) + (\gamma + \delta) &= (\alpha + \beta) + (\delta + \gamma) = ((\alpha + \beta) + \delta) + \gamma \\ &= \gamma + (\alpha + (\beta + \delta)) = (\gamma + \alpha) + (\beta + \delta) \end{aligned}

であるから

(Ξ+H)+(ξ2+η2)=ξ1+η1,(\Xi + \mathrm{H}) + (\xi_2 + \eta_2) = \xi_1 + \eta_1,

となり、したがって主張は真である。

  1. いま
Ξ<0,H<0.\Xi < 0, \quad \mathrm{H} < 0.

とする。このとき定理 181 により

ξ2−ξ1=−Ξ>0,η2−η1=−H>0,\xi_2 - \xi_1 = -\Xi > 0, \quad \eta_2 - \eta_1 = -\mathrm{H} > 0,

ゆえに 1) により

−Ξ+(−H)=(ξ2+η2)−(ξ1+η1),-\Xi + (-\mathrm{H}) = (\xi_2 + \eta_2) - (\xi_1 + \eta_1), Ξ+H=−(−Ξ+(−H))=(ξ1+η1)−(ξ2+η2).\Xi + \mathrm{H} = -(-\Xi + (-\mathrm{H})) = (\xi_1 + \eta_1) - (\xi_2 + \eta_2).
  1. いま
Ξ>0,H<0,\Xi > 0, \quad \mathrm{H} < 0,

とする。したがって

ξ1−ξ2>0,η2−η1>0.\xi_1 - \xi_2 > 0, \quad \eta_2 - \eta_1 > 0.

A) もし

Ξ>∣H∣,\Xi > |\mathrm{H}|,

ならば

ξ1−ξ2>η2−η1,\xi_1 - \xi_2 > \eta_2 - \eta_1,

したがって

ξ1+η1=((ξ1−ξ2)+ξ2)+η1=(ξ1−ξ2)+(ξ2+η1)=(ξ2+η1)+(ξ1−ξ2)=(ξ2+η1)+((η2−η1)+((ξ1−ξ2)−(η2−η1)))=((ξ2+η1)+(η2−η1))+((ξ1−ξ2)−(η2−η1))=(ξ2+(η1+(η2−η1)))+((ξ1−ξ2)−(η2−η1))=(ξ2+η2)+((ξ1−ξ2)−(η2−η1)),\begin{aligned} \xi_1 + \eta_1 &= ((\xi_1 - \xi_2) + \xi_2) + \eta_1 = (\xi_1 - \xi_2) + (\xi_2 + \eta_1) = (\xi_2 + \eta_1) + (\xi_1 - \xi_2) \\ &= (\xi_2 + \eta_1) + ((\eta_2 - \eta_1) + ((\xi_1 - \xi_2) - (\eta_2 - \eta_1))) \\ &= ((\xi_2 + \eta_1) + (\eta_2 - \eta_1)) + ((\xi_1 - \xi_2) - (\eta_2 - \eta_1)) \\ &= (\xi_2 + (\eta_1 + (\eta_2 - \eta_1))) + ((\xi_1 - \xi_2) - (\eta_2 - \eta_1)) \\ &= (\xi_2 + \eta_2) + ((\xi_1 - \xi_2) - (\eta_2 - \eta_1)), \end{aligned} (ξ1+η1)−(ξ2+η2)=(ξ1−ξ2)−(η2−η1)=Ξ−∣H∣=Ξ+H.(\xi_1 + \eta_1) - (\xi_2 + \eta_2) = (\xi_1 - \xi_2) - (\eta_2 - \eta_1) = \Xi - |\mathrm{H}| = \Xi + \mathrm{H}.

B) もし

Ξ<∣H∣,\Xi < |\mathrm{H}|,

ならば、A) により

Ξ+H=−(−H+(−Ξ))=−((η2−η1)+(ξ2−ξ1))=−((η2+ξ2)−(η1+ξ1))=(η1+ξ1)−(η2+ξ2)=(ξ1+η1)−(ξ2+η2).\begin{aligned} \Xi + \mathrm{H} &= -(-\mathrm{H} + (-\Xi)) = -((\eta_2 - \eta_1) + (\xi_2 - \xi_1)) \\ &= -((\eta_2 + \xi_2) - (\eta_1 + \xi_1)) = (\eta_1 + \xi_1) - (\eta_2 + \xi_2) \\ &= (\xi_1 + \eta_1) - (\xi_2 + \eta_2). \end{aligned}

C) もし

Ξ=∣H∣,\Xi = |\mathrm{H}|,

すなわち

ξ1−ξ2=η2−η1,\xi_1 - \xi_2 = \eta_2 - \eta_1,

ならば

ξ1=ξ2+(η2−η1),\xi_1 = \xi_2 + (\eta_2 - \eta_1), ξ1+η1=ξ2+η2,\xi_1 + \eta_1 = \xi_2 + \eta_2, Ξ+H=0=(ξ1+η1)−(ξ2+η2).\Xi + \mathrm{H} = 0 = (\xi_1 + \eta_1) - (\xi_2 + \eta_2).
  1. いま
Ξ<0,H>0.\Xi < 0, \quad \mathrm{H} > 0.

とする。このとき 3) により

Ξ+H=(ξ1+η1)−(ξ2+η2).\Xi + \mathrm{H} = (\xi_1 + \eta_1) - (\xi_2 + \eta_2).
  1. いま
Ξ=0.\Xi = 0.

とする。このとき

ξ1=ξ2,\xi_1 = \xi_2, Ξ+H=H.\Xi + \mathrm{H} = \mathrm{H}.

a) もし

η1>η2\eta_1 > \eta_2

ならば

(η1−η2)+(ξ1+η2)=((η1−η2)+η2)+ξ1=η1+ξ1=ξ1+η1,(\eta_1 - \eta_2) + (\xi_1 + \eta_2) = ((\eta_1 - \eta_2) + \eta_2) + \xi_1 = \eta_1 + \xi_1 = \xi_1 + \eta_1,

b) もし

η1=η2\eta_1 = \eta_2

ならば

H=0=(ξ1+η1)−(ξ1+η2).\mathrm{H} = 0 = (\xi_1 + \eta_1) - (\xi_1 + \eta_2).

c) もし

η1<η2\eta_1 < \eta_2

ならば、a) により

H=−(−H)=−((ξ1+η2)−(ξ1+η1))=(ξ1+η1)−(ξ1+η2).\mathrm{H} = -(-\mathrm{H}) = -((\xi_1 + \eta_2) - (\xi_1 + \eta_1)) = (\xi_1 + \eta_1) - (\xi_1 + \eta_2).
  1. いま
H=0.\mathrm{H} = 0.

とする。このとき 5) により

Ξ+H=H+Ξ=(η1+ξ1)−(η2+ξ2)=(ξ1+η1)−(ξ2+η2).\Xi + \mathrm{H} = \mathrm{H} + \Xi = (\eta_1 + \xi_1) - (\eta_2 + \xi_2) = (\xi_1 + \eta_1) - (\xi_2 + \eta_2).

定理 186(加法の結合法則):

(Ξ+H)+Z=Ξ+(H+Z).(\Xi + \mathrm{H}) + \mathrm{Z} = \Xi + (\mathrm{H} + \mathrm{Z}).

証明: 定理 184 により

Ξ=ξ1−ξ2,H=η1−η2,Z=ζ1−ζ2.\Xi = \xi_1 - \xi_2, \quad \mathrm{H} = \eta_1 - \eta_2, \quad \mathrm{Z} = \zeta_1 - \zeta_2.

定理 185 により

(Ξ+H)+Z=((ξ1+η1)−(ξ2+η2))+(ζ1−ζ2)=((ξ1+η1)+ζ1)−((ξ2+η2)+ζ2)=(ξ1+(η1+ζ1))−(ξ2+(η2+ζ2))=(ξ1−ξ2)+((η1+ζ1)−(η2+ζ2))=Ξ+(H+Z).\begin{aligned} (\Xi + \mathrm{H}) + \mathrm{Z} &= ((\xi_1 + \eta_1) - (\xi_2 + \eta_2)) + (\zeta_1 - \zeta_2) \\ &= ((\xi_1 + \eta_1) + \zeta_1) - ((\xi_2 + \eta_2) + \zeta_2) = (\xi_1 + (\eta_1 + \zeta_1)) - (\xi_2 + (\eta_2 + \zeta_2)) \\ &= (\xi_1 - \xi_2) + ((\eta_1 + \zeta_1) - (\eta_2 + \zeta_2)) = \Xi + (\mathrm{H} + \mathrm{Z}). \end{aligned}

定理 187: Ξ\Xi, H\mathrm{H} が与えられたとき、

H+Υ=Ξ\mathrm{H} + \Upsilon = \Xi

はちょうど一つの解 Υ\Upsilon をもつ。すなわち

Υ=Ξ−H.\Upsilon = \Xi - \mathrm{H}.

証明: 1)

Υ=Ξ−H\Upsilon = \Xi - \mathrm{H}

は一つの解である。なぜなら、定理 186 により

H+(Ξ−H)=(Ξ−H)+H=(Ξ+(−H))+H=Ξ+(−H+H)=Ξ+0=Ξ.\mathrm{H} + (\Xi - \mathrm{H}) = (\Xi - \mathrm{H}) + \mathrm{H} = (\Xi + (-\mathrm{H})) + \mathrm{H} = \Xi + (-\mathrm{H} + \mathrm{H}) = \Xi + 0 = \Xi.
  1. もし
H+Υ=Ξ\mathrm{H} + \Upsilon = \Xi

ならば

Ξ−H=Ξ+(−H)=−H+Ξ=−H+(H+Υ)=(−H+H)+Υ=0+Υ=Υ.\Xi - \mathrm{H} = \Xi + (-\mathrm{H}) = -\mathrm{H} + \Xi = -\mathrm{H} + (\mathrm{H} + \Upsilon) = (-\mathrm{H} + \mathrm{H}) + \Upsilon = 0 + \Upsilon = \Upsilon.

定理 188: 次のうち

Ξ+Z>H+Z ないし Ξ+Z=H+Z ないし Ξ+Z<H+Z,\Xi + \mathrm{Z} > \mathrm{H} + \mathrm{Z} \ \text{ないし} \ \Xi + \mathrm{Z} = \mathrm{H} + \mathrm{Z} \ \text{ないし} \ \Xi + \mathrm{Z} < \mathrm{H} + \mathrm{Z},

のいずれが成り立つかは、それぞれ、次のいずれであるかに応じて定まる:

Ξ>H ないし Ξ=H ないし Ξ<H.\Xi > \mathrm{H} \ \text{ないし} \ \Xi = \mathrm{H} \ \text{ないし} \ \Xi < \mathrm{H}.

証明: 定理 182 により、前者が成り立つのは、それぞれ次に応じてである:

(Ξ+Z)−(H+Z)>0 ないし (Ξ+Z)−(H+Z)=0 ないし (Ξ+Z)−(H+Z)<0;(\Xi + \mathrm{Z}) - (\mathrm{H} + \mathrm{Z}) > 0 \ \text{ないし} \ (\Xi + \mathrm{Z}) - (\mathrm{H} + \mathrm{Z}) = 0 \ \text{ないし} \ (\Xi + \mathrm{Z}) - (\mathrm{H} + \mathrm{Z}) < 0;

後者が成り立つのは、それぞれ次に応じてである:

Ξ−H>0 ないし Ξ−H=0 ないし Ξ−H<0.\Xi - \mathrm{H} > 0 \ \text{ないし} \ \Xi - \mathrm{H} = 0 \ \text{ないし} \ \Xi - \mathrm{H} < 0.

そして

(Ξ+Z)−(H+Z)=(Ξ+Z)+(−Z+(−H))=(Ξ+(Z+(−Z)))+(−H)=Ξ+(−H)=Ξ−H(\Xi + \mathrm{Z}) - (\mathrm{H} + \mathrm{Z}) = (\Xi + \mathrm{Z}) + (-\mathrm{Z} + (-\mathrm{H})) = (\Xi + (\mathrm{Z} + (-\mathrm{Z}))) + (-\mathrm{H}) = \Xi + (-\mathrm{H}) = \Xi - \mathrm{H}

から、したがって主張が従う。

定理 189: もし

Ξ>H,Z>Υ\Xi > \mathrm{H}, \quad \mathrm{Z} > \Upsilon

ならば

Ξ+Z>H+Υ.\Xi + \mathrm{Z} > \mathrm{H} + \Upsilon.

証明: 定理 188 により

Ξ+Z>H+Z\Xi + \mathrm{Z} > \mathrm{H} + \mathrm{Z}

かつ

H+Z=Z+H>Υ+H=H+Υ,\mathrm{H} + \mathrm{Z} = \mathrm{Z} + \mathrm{H} > \Upsilon + \mathrm{H} = \mathrm{H} + \Upsilon,

ゆえに

Ξ+Z>H+Υ.\Xi + \mathrm{Z} > \mathrm{H} + \Upsilon.

定理 190: もし

Ξ≧H, Z>ΥまたはΞ>H, Z≧Υ\Xi \geqq \mathrm{H}, \ \mathrm{Z} > \Upsilon \quad \text{または} \quad \Xi > \mathrm{H}, \ \mathrm{Z} \geqq \Upsilon

ならば

Ξ+Z>H+Υ.\Xi + \mathrm{Z} > \mathrm{H} + \Upsilon.

証明: 仮定に等号が現れる場合は定理 188 により、それ以外の場合は定理 189 により片付く。

定理 191: もし

Ξ≧H,Z≧Υ\Xi \geqq \mathrm{H}, \quad \mathrm{Z} \geqq \Upsilon

ならば

Ξ+Z≧H+Υ.\Xi + \mathrm{Z} \geqq \mathrm{H} + \Upsilon.

証明: 仮定に二つの等号がある場合は明らかであり、それ以外は定理 190 により片付く。

§ 4. 乗法

定義 55:

Ξ⋅H={−(∣Ξ∣ ∣H∣),(Ξ>0, H<0 または Ξ<0, H>0 のとき);∣Ξ∣ ∣H∣,(Ξ<0, H<0 のとき);0,(Ξ=0 または H=0 のとき).\Xi \cdot \mathrm{H} = \begin{cases} -(|\Xi| \, |\mathrm{H}|), & (\Xi > 0,\ \mathrm{H} < 0 \ \text{または} \ \Xi < 0,\ \mathrm{H} > 0 \text{ のとき}); \\ |\Xi| \, |\mathrm{H}|, & (\Xi < 0,\ \mathrm{H} < 0 \text{ のとき}); \\ 0, & (\Xi = 0 \ \text{または} \ \mathrm{H} = 0 \text{ のとき}). \end{cases}

(⋅\cdot は「掛ける」と読む。ただしこの点はふつう書かない。)Ξ⋅H\Xi \cdot \mathrm{H} を Ξ\Xi と H\mathrm{H} との積、または Ξ\Xi に H\mathrm{H} を乗ずる乗法によって生ずる数と呼ぶ。

Ξ>0\Xi > 0, H>0\mathrm{H} > 0 の場合の Ξ⋅H\Xi \cdot \mathrm{H} は定義 36 によってすでにわれわれに知られていることに注意せよ。このことはまさに定義 55 においても用いられている。

定理 192:

ΞH=0\Xi \mathrm{H} = 0

となるのは、二つの数 Ξ\Xi, H\mathrm{H} のうち少なくとも一方が 0 のとき、またそのときに限る。

証明: 定義 55 による。

定理 193: ∣ΞH∣=∣Ξ∣ ∣H∣|\Xi \mathrm{H}| = |\Xi| \, |\mathrm{H}|.

証明: 定義 55 による。

定理 194(乗法の交換法則):

ΞH=HΞ.\Xi \mathrm{H} = \mathrm{H} \Xi.

証明: Ξ>0\Xi > 0, H>0\mathrm{H} > 0 の場合、これは定理 142 である。それ以外の場合は定義 55 から従う。なぜなら、この定義の右辺は(定理 142 により)、また場合分けも、Ξ\Xi, H\mathrm{H} に関して対称だからである。

定理 195: Ξ⋅1=Ξ\Xi \cdot 1 = \Xi.

証明: Ξ>0\Xi > 0 の場合、これは定理 151 から従う。Ξ=0\Xi = 0 の場合は定義 55 から従う。Ξ<0\Xi < 0 の場合は、定義 55 により

Ξ⋅1=−(∣Ξ∣⋅1)=−∣Ξ∣=Ξ.\Xi \cdot 1 = -(|\Xi| \cdot 1) = -|\Xi| = \Xi.

定理 196:

Ξ≠0,H≠0,\Xi \neq 0, \quad \mathrm{H} \neq 0,

ならば

ΞH=∣Ξ∣ ∣H∣ないしΞH=−(∣Ξ∣ ∣H∣),\Xi \mathrm{H} = |\Xi| \, |\mathrm{H}| \quad \text{ないし} \quad \Xi \mathrm{H} = -(|\Xi| \, |\mathrm{H}|),

であり、数 Ξ\Xi, H\mathrm{H} のうち負のものが一つもないか二つあるか、あるいはちょうど一つあるかに応じて、それぞれ前者あるいは後者が成り立つ。

証明: 定義 55 による。

定理 197: (−Ξ)H=Ξ(−H)=−(ΞH)(-\Xi) \mathrm{H} = \Xi (-\mathrm{H}) = -(\Xi \mathrm{H}).

証明: 1) 数 Ξ\Xi, H\mathrm{H} のうち一方が 0 ならば、三つの式はすべて 0 である。

Ξ≠0,H≠0,\Xi \neq 0, \quad \mathrm{H} \neq 0,

ならば、定理 193 により三つの式はすべて同じ絶対値 ∣Ξ∣ ∣H∣|\Xi| \, |\mathrm{H}| をもち、定理 196 により、数 Ξ\Xi, H\mathrm{H} のうち負のものがちょうど一つあるか、それとも一つもないか二つあるかに応じて、三つの式はすべて >0> 0 あるいは <0< 0 である。

定理 198: (−Ξ)(−H)=ΞH(-\Xi)(-\mathrm{H}) = \Xi \mathrm{H}.

証明: 定理 197 により

(−Ξ)(−H)=Ξ(−(−H))=ΞH.(-\Xi)(-\mathrm{H}) = \Xi(-(-\mathrm{H})) = \Xi \mathrm{H}.

定理 199(乗法の結合法則):

(ΞH)Z=Ξ(HZ).(\Xi \mathrm{H}) \mathrm{Z} = \Xi (\mathrm{H} \mathrm{Z}).

証明: 1) 数 Ξ\Xi, H\mathrm{H}, Z\mathrm{Z} のうち一つが 0 ならば、主張の両辺はともに 0 である。

Ξ≠0,H≠0,Z≠0,\Xi \neq 0, \quad \mathrm{H} \neq 0, \quad \mathrm{Z} \neq 0,

ならば、定理 193 により両辺は同じ絶対値

(∣Ξ∣ ∣H∣) ∣Z∣=∣Ξ∣ (∣H∣ ∣Z∣),(|\Xi| \, |\mathrm{H}|) \, |\mathrm{Z}| = |\Xi| \, (|\mathrm{H}| \, |\mathrm{Z}|),

をもち、定理 196 により、数 Ξ\Xi, H\mathrm{H}, Z\mathrm{Z} のうち負のものが一つもないかちょうど二つあるか、それともちょうど一つあるか三つあるかに応じて、両辺はともに >0> 0 あるいは <0< 0 である。

定理 200: ξ(η−ζ)=ξη−ξζ\xi(\eta - \zeta) = \xi\eta - \xi\zeta.

証明: 1)

η>ζ\eta > \zeta

の場合、

(η−ζ)+ζ=η,(\eta - \zeta) + \zeta = \eta,

であるから、定理 144 により

ξ(η−ζ)+ξζ=ξη,\xi(\eta - \zeta) + \xi\zeta = \xi\eta, ξ(η−ζ)=ξη−ξζ.\xi(\eta - \zeta) = \xi\eta - \xi\zeta.
η=ζ\eta = \zeta

の場合、

η−ζ=0,\eta - \zeta = 0, ξ(η−ζ)=ξ⋅0=0=ξη−ξζ.\xi(\eta - \zeta) = \xi \cdot 0 = 0 = \xi\eta - \xi\zeta.
η<ζ\eta < \zeta

の場合、1) により

ξ(ζ−η)=ξζ−ξη,\xi(\zeta - \eta) = \xi\zeta - \xi\eta, ξ(η−ζ)=ξ(−(ζ−η))=−(ξ(ζ−η))=−(ξζ−ξη)=ξη−ξζ.\xi(\eta - \zeta) = \xi(-(\zeta - \eta)) = -(\xi(\zeta - \eta)) = -(\xi\zeta - \xi\eta) = \xi\eta - \xi\zeta.

定理 201(分配法則):

Ξ(H+Z)=ΞH+ΞZ.\Xi(\mathrm{H} + \mathrm{Z}) = \Xi\mathrm{H} + \Xi\mathrm{Z}.

証明: 1)

Ξ>0.\Xi > 0.

とする。定理 184 により

H=η1−η2,Z=ζ1−ζ2,\mathrm{H} = \eta_1 - \eta_2, \quad \mathrm{Z} = \zeta_1 - \zeta_2,

であり、したがって定理 185 により

H+Z=(η1+ζ1)−(η2+ζ2),\mathrm{H} + \mathrm{Z} = (\eta_1 + \zeta_1) - (\eta_2 + \zeta_2),

であるから、定理 200 と定理 144 により

Ξ(H+Z)=Ξ(η1+ζ1)−Ξ(η2+ζ2)=(Ξη1+Ξζ1)−(Ξη2+Ξζ2),\Xi(\mathrm{H} + \mathrm{Z}) = \Xi(\eta_1 + \zeta_1) - \Xi(\eta_2 + \zeta_2) = (\Xi\eta_1 + \Xi\zeta_1) - (\Xi\eta_2 + \Xi\zeta_2),

となり、さらに定理 185 と定理 200 により

Ξ(H+Z)=(Ξη1−Ξη2)+(Ξζ1−Ξζ2)=Ξ(η1−η2)+Ξ(ζ1−ζ2)=ΞH+ΞZ.\Xi(\mathrm{H} + \mathrm{Z}) = (\Xi\eta_1 - \Xi\eta_2) + (\Xi\zeta_1 - \Xi\zeta_2) = \Xi(\eta_1 - \eta_2) + \Xi(\zeta_1 - \zeta_2) = \Xi\mathrm{H} + \Xi\mathrm{Z}.
Ξ=0.\Xi = 0.

とする。このとき

Ξ(H+Z)=0=ΞH+ΞZ.\Xi(\mathrm{H} + \mathrm{Z}) = 0 = \Xi\mathrm{H} + \Xi\mathrm{Z}.
Ξ<0.\Xi < 0.

とする。このとき 1) により

(−Ξ)(H+Z)=(−Ξ)H+(−Ξ)Z,(-\Xi)(\mathrm{H} + \mathrm{Z}) = (-\Xi)\mathrm{H} + (-\Xi)\mathrm{Z},

であるから、

−(Ξ(H+Z))=(−Ξ)H+(−Ξ)Z,-(\Xi(\mathrm{H} + \mathrm{Z})) = (-\Xi)\mathrm{H} + (-\Xi)\mathrm{Z}, Ξ(H+Z)=−((−Ξ)H+(−Ξ)Z)=−((−Ξ)H)+(−((−Ξ)Z))=ΞH+ΞZ.\Xi(\mathrm{H} + \mathrm{Z}) = -((-\Xi)\mathrm{H} + (-\Xi)\mathrm{Z}) = -((-\Xi)\mathrm{H}) + (-((-\Xi)\mathrm{Z})) = \Xi\mathrm{H} + \Xi\mathrm{Z}.

定理 202: Ξ(H−Z)=ΞH−ΞZ\Xi(\mathrm{H} - \mathrm{Z}) = \Xi\mathrm{H} - \Xi\mathrm{Z}.

証明: 定理 201 により

Ξ(H−Z)=Ξ(H+(−Z))=ΞH+Ξ(−Z)=ΞH+(−(ΞZ))=ΞH−ΞZ.\Xi(\mathrm{H} - \mathrm{Z}) = \Xi(\mathrm{H} + (-\mathrm{Z})) = \Xi\mathrm{H} + \Xi(-\mathrm{Z}) = \Xi\mathrm{H} + (-(\Xi\mathrm{Z})) = \Xi\mathrm{H} - \Xi\mathrm{Z}.

定理 203:

Ξ>H.\Xi > \mathrm{H}.

とする。 は一つの解である。なぜなら
HΥ=\mathrm{H}\Upsilon = ,
2)
H<0\mathrm{H} < 0 とする。

このとき

Z>0 ないし Z=0 ないし Z<0\mathrm{Z} > 0 \ \text{ないし} \ \mathrm{Z} = 0 \ \text{ないし} \ \mathrm{Z} < 0

から

ΞZ>HZ ないし ΞZ=HZ ないし ΞZ<HZ.\Xi\mathrm{Z} > \mathrm{H}\mathrm{Z} \ \text{ないし} \ \Xi\mathrm{Z} = \mathrm{H}\mathrm{Z} \ \text{ないし} \ \Xi\mathrm{Z} < \mathrm{H}\mathrm{Z}.

が従う。

証明:

Ξ−H>0,\Xi - \mathrm{H} > 0,

であるから、

(Ξ−H)Z>0 ないし (Ξ−H)Z=0 ないし (Ξ−H)Z<0,(\Xi - \mathrm{H})\mathrm{Z} > 0 \ \text{ないし} \ (\Xi - \mathrm{H})\mathrm{Z} = 0 \ \text{ないし} \ (\Xi - \mathrm{H})\mathrm{Z} < 0,

であって、それぞれ

Z>0 ないし Z=0 ないし Z<0.\mathrm{Z} > 0 \ \text{ないし} \ \mathrm{Z} = 0 \ \text{ないし} \ \mathrm{Z} < 0.

に応ずる。定理 202 により

(Ξ−H)Z=Z(Ξ−H)=ZΞ−ZH=ΞZ−HZ(\Xi - \mathrm{H})\mathrm{Z} = \mathrm{Z}(\Xi - \mathrm{H}) = \mathrm{Z}\Xi - \mathrm{Z}\mathrm{H} = \Xi\mathrm{Z} - \mathrm{H}\mathrm{Z}

であるから、これらの場合には定理 182 により

ΞZ>HZ ないし ΞZ=HZ ないし ΞZ<HZ.\Xi\mathrm{Z} > \mathrm{H}\mathrm{Z} \ \text{ないし} \ \Xi\mathrm{Z} = \mathrm{H}\mathrm{Z} \ \text{ないし} \ \Xi\mathrm{Z} < \mathrm{H}\mathrm{Z}.

である。

定理 204: 方程式

HΥ=Ξ,\mathrm{H}\Upsilon = \Xi,

は、Ξ\Xi, H\mathrm{H} が与えられており

H≠0\mathrm{H} \neq 0

であるとき、ちょうど一つの解 Υ\Upsilon をもつ。

証明: I) 解は高々一つである。なぜなら、

HΥ1=Ξ=HΥ2\mathrm{H}\Upsilon_1 = \Xi = \mathrm{H}\Upsilon_2

から

0=HΥ1−HΥ2=H(Υ1−Υ2),0 = \mathrm{H}\Upsilon_1 - \mathrm{H}\Upsilon_2 = \mathrm{H}(\Upsilon_1 - \Upsilon_2),

が従い、したがって定理 192 により

0=Υ1−Υ2,0 = \Upsilon_1 - \Upsilon_2, Υ1=Υ2.\Upsilon_1 = \Upsilon_2.

となるからである。

II) 1)

H>0.\mathrm{H} > 0.

とする。このとき

このとき

が一つの解である。なぜなら、1) により

Ξ=∣H∣(−Υ)=(−∣H∣)Υ=HΥ.\Xi = |\mathrm{H}|(-\Upsilon) = (-|\mathrm{H}|)\Upsilon = \mathrm{H}\Upsilon.

だからである。

定義 56: 定理 204 の Υ\Upsilon を ΞH\frac{\Xi}{\mathrm{H}} と呼ぶ(Ξ\Xi 割る H\mathrm{H} と読む)。ΞH\frac{\Xi}{\mathrm{H}} はまた、Ξ\Xi の H\mathrm{H} による商、あるいは Ξ\Xi を H\mathrm{H} で除する除法によって生ずる数とも呼ばれる。

(当然そうでなければならないが)Ξ>0\Xi > 0, H>0\mathrm{H} > 0 の場合、これが以前の定義 38 と一致することに注意せよ。

§ 5. デデキントの主定理

定理 205: すべての実数を二つの組へ分ける任意の分割で、次の性質をもつものが与えられたとする。

  1. 第一の組に属する数と第二の組に属する数とが存在する。

  2. 第一の組のどの数も第二の組のどの数よりも小さい。

このとき、H<Ξ\mathrm{H} < \Xi なるどの H\mathrm{H} も第一の組に、H>Ξ\mathrm{H} > \Xi なるどの H\mathrm{H} も第二の組に属するような実数 Ξ\Xi がちょうど一つ存在する。

言い換えれば、第一の組のどの数も ≦Ξ\leqq \Xi であり、第二の組のどの数も ≧Ξ\geqq \Xi である。

前注: 逆に、各実数 Ξ\Xi がこのような分割をちょうど二つ生ずることは明らかである。一つは H≦Ξ\mathrm{H} \leqq \Xi を第一の組、H>Ξ\mathrm{H} > \Xi を第二の組とするものであり、もう一つは H<Ξ\mathrm{H} < \Xi を第一の組、H≧Ξ\mathrm{H} \geqq \Xi を第二の組とするものである。

証明: A) そのような Ξ\Xi は二つ以上存在し得ない。なぜなら、もし

Ξ1<Ξ2\Xi_1 < \Xi_2

であって Ξ1\Xi_1 と Ξ2\Xi_2 がともに求められることを満たすならば、Ξ1+Ξ21+1\frac{\Xi_1 + \Xi_2}{1+1} は

(1+1)Ξ1=Ξ1+Ξ1<Ξ1+Ξ2<Ξ2+Ξ2=(1+1)Ξ2,(1+1)\Xi_1 = \Xi_1 + \Xi_1 < \Xi_1 + \Xi_2 < \Xi_2 + \Xi_2 = (1+1)\Xi_2, Ξ1<Ξ1+Ξ21+1<Ξ2\Xi_1 < \frac{\Xi_1 + \Xi_2}{1+1} < \Xi_2

のゆえに、第二の組にも第一の組にも属することになるからである。

B) Ξ\Xi の存在を示すために、四つの場合を区別する。

I) 第一の組に正の数が存在するとする。

次のようにして生ずる切断を考える。各正の有理数は、それが第一の組に属し、かつ第一の組の(もしあれば)最大の有理数でないならば下組に入れ、そうでないならば(すなわち、それが第一の組の(もしあれば)最大の有理数であるか、または第二の組に属するならば)上組に入れる。これは実際に切断である。なぜなら:

  1. 第一の組は正の数を含むから、それより小さいどの正の有理数をも含み(そのようなものは定理 158 により存在する)、したがって、第一の組の中にそれより大きいものが存在するような数を含む。ゆえに下組は空でない。

第二の組は数を含むから、それより大きいどの正の有理数をも含む(そのようなものは定理 158 により存在する)。ゆえに上組は空でない。

  1. 下組のどの数も上組のどの数よりも小さい。なぜなら、第一の組のどの数も第二の組のどの数よりも小さく、また第一の組の(もしあれば)最大の正の有理数は確かに下組のどの数よりも大きいからである。

  2. 下組は最大の正の有理数を含まない。なぜなら、第一の組がそもそもそのようなものを含まないか、あるいは含むかのいずれかであるが、後者の場合、それは上組に入れられており、しかも与えられた数より小さい正の有理数のうちには、すでに定理 91 により最大のものは存在しないからである。

われわれの切断によって定義される正の数を Ξ\Xi と名づけ、それが課された要求を満たすことを主張する。

a)

H<Ξ\mathrm{H} < \Xi

なる H\mathrm{H} が与えられたとする。定理 159 により(H>0\mathrm{H} > 0 のときは ξ=H\xi = \mathrm{H}, η=Ξ\eta = \Xi として、H≦0\mathrm{H} \leqq 0 のときは ξ=Ξ1+1\xi = \frac{\Xi}{1 + 1}, η=Ξ\eta = \Xi として)

H<Z<Ξ.\mathrm{H} < \mathrm{Z} < \Xi.

なる Z\mathrm{Z} を選ぶ。

このとき Z\mathrm{Z} は Ξ\Xi における下数であり、したがって第一の組に属する。ゆえに H\mathrm{H} は第一の組に属する。

b)

H>Ξ\mathrm{H} > \Xi

なる H\mathrm{H} が与えられたとする。定理 159 により

Ξ<Z<H.\Xi < \mathrm{Z} < \mathrm{H}.

なる Z\mathrm{Z} を選ぶ。

このとき Z\mathrm{Z} は Ξ\Xi における上数であり、しかも(定理 159 により)最小のものではないから、第二の組に属する。ゆえに H\mathrm{H} は第二の組に属する。

II) どの正の数も第二の組に属し、0 は第一の組に属するとする。

このときどの負の数も第一の組に属し、

Ξ=0\Xi = 0

が求められたことを満たす。

III) 0 は第二の組に属し、どの負の数も第一の組に属するとする。

このときどの正の数も第二の組に属し、

Ξ=0\Xi = 0

が求められたことを満たす。

IV) 第二の組に負の数が存在するとする。

このとき次の新しい分割を考える。

−H-\mathrm{H} が旧第二の組に属していたならば、H\mathrm{H} は新第一の組に入れる。

−H-\mathrm{H} が旧第一の組に属していたならば、H\mathrm{H} は新第二の組に入れる。

この分割は明らかに定理 205 の二つの条件を満たす。なぜなら

  1. どちらの組にも数が存在する。

H1<H2\mathrm{H}_1 < \mathrm{H}_2

から、定理 183 により

−H2<−H1.-\mathrm{H}_2 < -\mathrm{H}_1.

が従うからである。

そのうえ、新第一の組には正の数が存在するから、新しい分割は場合 I) に該当する。したがって I) により、

H<Ξ1\mathrm{H} < \Xi_1

なるどの H\mathrm{H} も新第一の組に属し、

H>Ξ1\mathrm{H} > \Xi_1

なるどの H\mathrm{H} も新第二の組に属するような数 Ξ1\Xi_1 が存在する。

−Ξ1=Ξ-\Xi_1 = \Xi

とおけば、

H<ΞないしH>Ξ,\mathrm{H} < \Xi \quad \text{ないし} \quad \mathrm{H} > \Xi,

から

−H>Ξ1ないし−H<Ξ1-\mathrm{H} > \Xi_1 \quad \text{ないし} \quad -\mathrm{H} < \Xi_1

が従う。したがって −H-\mathrm{H} はそれぞれ新第二の組あるいは新第一の組に属し、ゆえに H\mathrm{H} はそれぞれ旧第一の組あるいは旧第二の組に属する。