第2章分数

§ 1. 定義と同値

定義 7: 分数 $\frac{x_1}{x_2}$ ( $x_1$ を $x_2$ の上に置いたものと読む)とは、自然数 $x_1$ , $x_2$ の(この順序での)対のことをいう。

定義 8:

\frac{x_1}{x_2} \sim \frac{y_1}{y_2}

( $\sim$ は「同値」と読む)とは、

x_1 y_2 = y_1 x_2

のときをいう。

定理 37:

\frac{x_1}{x_2} \sim \frac{x_1}{x_2}.

証明:

x_1 x_2 = x_1 x_2.

定理 38:

\frac{x_1}{x_2} \sim \frac{y_1}{y_2}

から

\frac{y_1}{y_2} \sim \frac{x_1}{x_2}

が従う。

証明:

x_1 y_2 = y_1 x_2,

ゆえに

y_1 x_2 = x_1 y_2.

定理 39:

\frac{x_1}{x_2} \sim \frac{y_1}{y_2}, \quad \frac{y_1}{y_2} \sim \frac{z_1}{z_2}

から

\frac{x_1}{x_2} \sim \frac{z_1}{z_2}

が従う。

証明:

x_1 y_2 = y_1 x_2, \quad y_1 z_2 = z_1 y_2,

ゆえに

(x_1 y_2)(y_1 z_2) = (y_1 x_2)(z_1 y_2).

常に

(x y)(z u) = x(y(z u)) = x((y z) u) = x(u(y z)) = (x u)(y z) = (x u)(z y);

であるから、

(x_1 y_2)(y_1 z_2) = (x_1 z_2)(y_1 y_2)

かつ

(y_1 x_2)(z_1 y_2) = (y_1 y_2)(z_1 x_2) = (z_1 x_2)(y_1 y_2),

したがって上のことにより

(x_1 z_2)(y_1 y_2) = (z_1 x_2)(y_1 y_2),

x_1 z_2 = z_1 x_2.

定理 37 から 39 により、すべての分数はいくつかの類に分かれ、

\frac{x_1}{x_2} \sim \frac{y_1}{y_2}

となるのは、 $\frac{x_1}{x_2}$ と $\frac{y_1}{y_2}$ が同じ類に属するとき、またそのときに限る。

定理 40:

\frac{x_1}{x_2} \sim \frac{x_1 x}{x_2 x}.

証明:

x_1(x_2 x) = x_1(x x_2) = (x_1 x) x_2.

§ 2. 順序

定義 9:

\frac{x_1}{x_2} > \frac{y_1}{y_2}

( $>$ は「より大きい」と読む)とは、

x_1 y_2 > y_1 x_2

のときをいう。

定義 10:

\frac{x_1}{x_2} < \frac{y_1}{y_2}

( $<$ は「より小さい」と読む)とは、

x_1 y_2 < y_1 x_2

のときをいう。

定理 41: $\frac{x_1}{x_2}$ , $\frac{y_1}{y_2}$ が任意に与えられたとき、

\frac{x_1}{x_2} \sim \frac{y_1}{y_2}, \quad \frac{x_1}{x_2} > \frac{y_1}{y_2}, \quad \frac{x_1}{x_2} < \frac{y_1}{y_2}

のうちちょうど一つの場合が成り立つ。

証明: $x_1$ , $x_2$ , $y_1$ , $y_2$ に対して、

x_1 y_2 = y_1 x_2, \quad x_1 y_2 > y_1 x_2, \quad x_1 y_2 < y_1 x_2

のうちちょうど一つの場合が成り立つ。

定理 42:

\frac{x_1}{x_2} > \frac{y_1}{y_2}

から

\frac{y_1}{y_2} < \frac{x_1}{x_2}

が従う。

証明:

x_1 y_2 > y_1 x_2

から

y_1 x_2 < x_1 y_2

が従う。

定理 43:

\frac{x_1}{x_2} < \frac{y_1}{y_2}

から

\frac{y_1}{y_2} > \frac{x_1}{x_2}

が従う。

証明:

x_1 y_2 < y_1 x_2

から

y_1 x_2 > x_1 y_2

が従う。

定理 44:

\frac{x_1}{x_2} > \frac{y_1}{y_2}, \quad \frac{x_1}{x_2} \sim \frac{z_1}{z_2}, \quad \frac{y_1}{y_2} \sim \frac{u_1}{u_2}

から

\frac{z_1}{z_2} > \frac{u_1}{u_2}

が従う。

前注: すなわち、ある類の分数が別の類の分数より大きければ、このことは両方の類の代表元のすべての対について成り立つ。

証明:

y_1 u_2 = u_1 y_2, \quad z_1 x_2 = x_1 z_2, \quad x_1 y_2 > y_1 x_2,

ゆえに

(y_1 u_2)(z_1 x_2) = (u_1 y_2)(x_1 z_2),

ゆえに定理 32 により

(y_1 x_2)(z_1 u_2) = (u_1 z_2)(x_1 y_2) > (u_1 z_2)(y_1 x_2),

ゆえに定理 33 により

z_1 u_2 > u_1 z_2.

定理 45:

\frac{x_1}{x_2} < \frac{y_1}{y_2}, \quad \frac{x_1}{x_2} \sim \frac{z_1}{z_2}, \quad \frac{y_1}{y_2} \sim \frac{u_1}{u_2}

から

\frac{z_1}{z_2} < \frac{u_1}{u_2}

が従う。

前注: すなわち、ある類の分数が別の類の分数より小さければ、このことは両方の類の代表元のすべての対について成り立つ。

証明: 定理 43 により

\frac{y_1}{y_2} > \frac{x_1}{x_2};

であり、

\frac{y_1}{y_2} \sim \frac{u_1}{u_2}, \quad \frac{x_1}{x_2} \sim \frac{z_1}{z_2}

であるから、定理 44 により

\frac{u_1}{u_2} > \frac{z_1}{z_2},

ゆえに定理 42 により

\frac{z_1}{z_2} < \frac{u_1}{u_2}.

定義 11:

\frac{x_1}{x_2} \gtrsim \frac{y_1}{y_2}

は

\frac{x_1}{x_2} > \frac{y_1}{y_2} \quad\text{または}\quad \frac{x_1}{x_2} \sim \frac{y_1}{y_2}.

を意味する。

( $\gtrsim$ は「より大きいか同値」と読む。)

定義 12:

\frac{x_1}{x_2} \lesssim \frac{y_1}{y_2}

は

\frac{x_1}{x_2} < \frac{y_1}{y_2} \quad\text{または}\quad \frac{x_1}{x_2} \sim \frac{y_1}{y_2}.

を意味する。

( $\lesssim$ は「より小さいか同値」と読む。)

定理 46:

\frac{x_1}{x_2} \gtrsim \frac{y_1}{y_2}, \quad \frac{x_1}{x_2} \sim \frac{z_1}{z_2}, \quad \frac{y_1}{y_2} \sim \frac{u_1}{u_2}

から

\frac{z_1}{z_2} \gtrsim \frac{u_1}{u_2}

が従う。

証明: 仮定において $>$ の場合は定理 44 により明らかである。そうでない場合は

\frac{z_1}{z_2} \sim \frac{x_1}{x_2} \sim \frac{y_1}{y_2} \sim \frac{u_1}{u_2}.

定理 47:

\frac{x_1}{x_2} \lesssim \frac{y_1}{y_2}, \quad \frac{x_1}{x_2} \sim \frac{z_1}{z_2}, \quad \frac{y_1}{y_2} \sim \frac{u_1}{u_2}

から

\frac{z_1}{z_2} \lesssim \frac{u_1}{u_2}

が従う。

証明: 仮定において $<$ の場合は定理 45 により明らかである。そうでない場合は

\frac{z_1}{z_2} \sim \frac{x_1}{x_2} \sim \frac{y_1}{y_2} \sim \frac{u_1}{u_2}.

定理 48:

\frac{x_1}{x_2} \gtrsim \frac{y_1}{y_2}

から

\frac{y_1}{y_2} \lesssim \frac{x_1}{x_2}

が従う。

証明: 定理 38 と定理 42 による。

定理 49:

\frac{x_1}{x_2} \lesssim \frac{y_1}{y_2}

から

\frac{y_1}{y_2} \gtrsim \frac{x_1}{x_2}

が従う。

証明: 定理 38 と定理 43 による。

定理 50(順序の推移性):

\frac{x_1}{x_2} < \frac{y_1}{y_2}, \quad \frac{y_1}{y_2} < \frac{z_1}{z_2}

から

\frac{x_1}{x_2} < \frac{z_1}{z_2}

が従う。

証明:

x_1 y_2 < y_1 x_2, \quad y_1 z_2 < z_1 y_2,

ゆえに

(x_1 y_2)(y_1 z_2) < (y_1 x_2)(z_1 y_2),

(x_1 z_2)(y_1 y_2) < (z_1 x_2)(y_1 y_2),

x_1 z_2 < z_1 x_2.

定理 51:

\frac{x_1}{x_2} \lesssim \frac{y_1}{y_2}, \quad \frac{y_1}{y_2} < \frac{z_1}{z_2} \quad\text{または}\quad \frac{x_1}{x_2} < \frac{y_1}{y_2}, \quad \frac{y_1}{y_2} \lesssim \frac{z_1}{z_2}

から

\frac{x_1}{x_2} < \frac{z_1}{z_2}

が従う。

証明: 仮定に同値記号が現れる場合は定理 45 により、そうでない場合は定理 50 により片付く。

定理 52:

\frac{x_1}{x_2} \lesssim \frac{y_1}{y_2}, \quad \frac{y_1}{y_2} \lesssim \frac{z_1}{z_2}

から

\frac{x_1}{x_2} \lesssim \frac{z_1}{z_2}

が従う。

証明: 仮定に同値記号が二つ現れる場合は定理 39 により、そうでない場合は定理 51 により片付く。

定理 53: $\frac{x_1}{x_2}$ に対して、

\frac{z_1}{z_2} > \frac{x_1}{x_2}

となる分数が存在する。

証明:

(x_1 + x_1) x_2 = x_1 x_2 + x_1 x_2 > x_1 x_2,

\frac{x_1 + x_1}{x_2} > \frac{x_1}{x_2}.

定理 54: $\frac{x_1}{x_2}$ に対して、

\frac{z_1}{z_2} < \frac{x_1}{x_2}

となる分数が存在する。

証明:

x_1 x_2 < x_1 x_2 + x_1 x_2 = x_1(x_2 + x_2),

\frac{x_1}{x_2 + x_2} < \frac{x_1}{x_2}.

定理 55:

\frac{x_1}{x_2} < \frac{y_1}{y_2}

ならば、

\frac{x_1}{x_2} < \frac{z_1}{z_2} < \frac{y_1}{y_2}

となる $\frac{z_1}{z_2}$ が存在する。

証明:

x_1 y_2 < y_1 x_2,

ゆえに

x_1 x_2 + x_1 y_2 < x_1 x_2 + y_1 x_2, \quad x_1 y_2 + y_1 y_2 < y_1 x_2 + y_1 y_2,

x_1(x_2 + y_2) < (x_1 + y_1) x_2, \quad (x_1 + y_1) y_2 < y_1(x_2 + y_2),

\frac{x_1}{x_2} < \frac{x_1 + y_1}{x_2 + y_2} < \frac{y_1}{y_2}.

§ 3. 加法

定義 13: $\frac{x_1}{x_2} + \frac{y_1}{y_2}$ ( $+$ は「プラス」と読む)とは、分数 $\frac{x_1 y_2 + y_1 x_2}{x_2 y_2}$ のことをいう。

これを $\frac{x_1}{x_2}$ と $\frac{y_1}{y_2}$ の和、または $\frac{x_1}{x_2}$ への $\frac{y_1}{y_2}$ の加法によって得られる分数と呼ぶ。

定理 56:

\frac{x_1}{x_2} \sim \frac{y_1}{y_2}, \quad \frac{z_1}{z_2} \sim \frac{u_1}{u_2}

から

\frac{x_1}{x_2} + \frac{z_1}{z_2} \sim \frac{y_1}{y_2} + \frac{u_1}{u_2}.

が従う。

前注: したがって、和の類は「加数」の属する類のみに依存する。

証明:

x_1 y_2 = y_1 x_2, \quad z_1 u_2 = u_1 z_2,

したがって

(x_1 y_2)(z_2 u_2) = (y_1 x_2)(z_2 u_2), \quad (z_1 u_2)(x_2 y_2) = (u_1 z_2)(x_2 y_2),

したがって

(x_1 z_2)(y_2 u_2) = (y_1 u_2)(x_2 z_2), \quad (z_1 x_2)(y_2 u_2) = (u_1 y_2)(x_2 z_2),

(x_1 z_2)(y_2 u_2) + (z_1 x_2)(y_2 u_2) = (y_1 u_2)(x_2 z_2) + (u_1 y_2)(x_2 z_2),

(x_1 z_2 + z_1 x_2)(y_2 u_2) = (y_1 u_2 + u_1 y_2)(x_2 z_2),

\frac{x_1 z_2 + z_1 x_2}{x_2 z_2} \sim \frac{y_1 u_2 + u_1 y_2}{y_2 u_2}.

定理 57:

\frac{x_1}{x} + \frac{x_2}{x} \sim \frac{x_1 + x_2}{x}.

証明: 定義 13 と定理 40 により

\frac{x_1}{x} + \frac{x_2}{x} \sim \frac{x_1 x + x_2 x}{x x} \sim \frac{(x_1 + x_2) x}{x x} \sim \frac{x_1 + x_2}{x}.

定理 58(加法の交換法則):

\frac{x_1}{x_2} + \frac{y_1}{y_2} \sim \frac{y_1}{y_2} + \frac{x_1}{x_2}.

証明:

\frac{x_1}{x_2} + \frac{y_1}{y_2} \sim \frac{x_1 y_2 + y_1 x_2}{x_2 y_2} \sim \frac{y_1 x_2 + x_1 y_2}{y_2 x_2} \sim \frac{y_1}{y_2} + \frac{x_1}{x_2}.

定理 59(加法の結合法則):

\left(\frac{x_1}{x_2} + \frac{y_1}{y_2}\right) + \frac{z_1}{z_2} \sim \frac{x_1}{x_2} + \left(\frac{y_1}{y_2} + \frac{z_1}{z_2}\right).

証明:

\begin{aligned} \left(\frac{x_1}{x_2} + \frac{y_1}{y_2}\right) + \frac{z_1}{z_2} &\sim \frac{x_1 y_2 + y_1 x_2}{x_2 y_2} + \frac{z_1}{z_2} \sim \frac{(x_1 y_2 + y_1 x_2) z_2 + z_1(x_2 y_2)}{(x_2 y_2) z_2} \sim \frac{((x_1 y_2) z_2 + (y_1 x_2) z_2) + z_1(y_2 x_2)}{x_2(y_2 z_2)} \\ &\sim \frac{(x_1(y_2 z_2) + (x_2 y_1) z_2) + (z_1 y_2) x_2}{x_2(y_2 z_2)} \sim \frac{(x_1(y_2 z_2) + x_2(y_1 z_2)) + (z_1 y_2) x_2}{x_2(y_2 z_2)} \\ &\sim \frac{x_1(y_2 z_2) + ((y_1 z_2) x_2 + (z_1 y_2) x_2)}{x_2(y_2 z_2)} \sim \frac{x_1(y_2 z_2) + (y_1 z_2 + z_1 y_2) x_2}{x_2(y_2 z_2)} \\ &\sim \frac{x_1}{x_2} + \frac{y_1 z_2 + z_1 y_2}{y_2 z_2} \sim \frac{x_1}{x_2} + \left(\frac{y_1}{y_2} + \frac{z_1}{z_2}\right). \end{aligned}

定理 60:

\frac{x_1}{x_2} + \frac{y_1}{y_2} > \frac{x_1}{x_2}.

証明:

x_1 y_2 + y_1 x_2 > x_1 y_2,

(x_1 y_2 + y_1 x_2) x_2 > (x_1 y_2) x_2 = x_1(y_2 x_2) = x_1(x_2 y_2),

\frac{x_1}{x_2} + \frac{y_1}{y_2} \sim \frac{x_1 y_2 + y_1 x_2}{x_2 y_2} > \frac{x_1}{x_2}.

定理 61:

\frac{x_1}{x_2} > \frac{y_1}{y_2}

から

\frac{x_1}{x_2} + \frac{z_1}{z_2} > \frac{y_1}{y_2} + \frac{z_1}{z_2}.

が従う。

証明:

x_1 y_2 > y_1 x_2

から

(x_1 y_2) z_2 > (y_1 x_2) z_2.

が従う。

(x y) z = x(y z) = x(z y) = (x z) y

により、したがって

(x_1 z_2) y_2 > (y_1 z_2) x_2

であり、かつ

(z_1 x_2) y_2 = (z_1 y_2) x_2,

であるから、

(x_1 z_2 + z_1 x_2) y_2 > (y_1 z_2 + z_1 y_2) x_2,

(x_1 z_2 + z_1 x_2)(y_2 z_2) > (y_1 z_2 + z_1 y_2)(x_2 z_2),

\frac{x_1}{x_2} + \frac{z_1}{z_2} \sim \frac{x_1 z_2 + z_1 x_2}{x_2 z_2} > \frac{y_1 z_2 + z_1 y_2}{y_2 z_2} \sim \frac{y_1}{y_2} + \frac{z_1}{z_2}.

定理 62:

\frac{x_1}{x_2} > \frac{y_1}{y_2} \quad\text{ないし}\quad \frac{x_1}{x_2} \sim \frac{y_1}{y_2} \quad\text{ないし}\quad \frac{x_1}{x_2} < \frac{y_1}{y_2}

から、それぞれ

\frac{x_1}{x_2} + \frac{z_1}{z_2} > \frac{y_1}{y_2} + \frac{z_1}{z_2} \quad\text{ないし}\quad \frac{x_1}{x_2} + \frac{z_1}{z_2} \sim \frac{y_1}{y_2} + \frac{z_1}{z_2} \quad\text{ないし}\quad \frac{x_1}{x_2} + \frac{z_1}{z_2} < \frac{y_1}{y_2} + \frac{z_1}{z_2}.

が従う。

証明: 第一の部分は定理 61 であり、第二の部分は定理 56 に含まれており、第三の部分は

\frac{y_1}{y_2} > \frac{x_1}{x_2},

\frac{y_1}{y_2} + \frac{z_1}{z_2} > \frac{x_1}{x_2} + \frac{z_1}{z_2},

\frac{x_1}{x_2} + \frac{z_1}{z_2} < \frac{y_1}{y_2} + \frac{z_1}{z_2}.

により第一の部分の帰結である。

定理 63:

\frac{x_1}{x_2} + \frac{z_1}{z_2} > \frac{y_1}{y_2} + \frac{z_1}{z_2} \quad\text{ないし}\quad \frac{x_1}{x_2} + \frac{z_1}{z_2} \sim \frac{y_1}{y_2} + \frac{z_1}{z_2} \quad\text{ないし}\quad \frac{x_1}{x_2} + \frac{z_1}{z_2} < \frac{y_1}{y_2} + \frac{z_1}{z_2}

から、それぞれ

\frac{x_1}{x_2} > \frac{y_1}{y_2} \quad\text{ないし}\quad \frac{x_1}{x_2} \sim \frac{y_1}{y_2} \quad\text{ないし}\quad \frac{x_1}{x_2} < \frac{y_1}{y_2}.

が従う。

証明: 三つの場合はどちらにおいても互いに排反であり、かつすべての可能性を尽くすから、定理 62 から従う。

定理 64:

\frac{x_1}{x_2} > \frac{y_1}{y_2}, \quad \frac{z_1}{z_2} > \frac{u_1}{u_2}

から

\frac{x_1}{x_2} + \frac{z_1}{z_2} > \frac{y_1}{y_2} + \frac{u_1}{u_2}.

が従う。

証明: 定理 61 により

\frac{x_1}{x_2} + \frac{z_1}{z_2} > \frac{y_1}{y_2} + \frac{z_1}{z_2}

であり、かつ

\frac{y_1}{y_2} + \frac{z_1}{z_2} \sim \frac{z_1}{z_2} + \frac{y_1}{y_2} > \frac{u_1}{u_2} + \frac{y_1}{y_2} \sim \frac{y_1}{y_2} + \frac{u_1}{u_2},

したがって

\frac{x_1}{x_2} + \frac{z_1}{z_2} > \frac{y_1}{y_2} + \frac{u_1}{u_2}.

定理 65:

\frac{x_1}{x_2} \gtrsim \frac{y_1}{y_2}, \quad \frac{z_1}{z_2} > \frac{u_1}{u_2} \quad\text{または}\quad \frac{x_1}{x_2} > \frac{y_1}{y_2}, \quad \frac{z_1}{z_2} \gtrsim \frac{u_1}{u_2}

から

\frac{x_1}{x_2} + \frac{z_1}{z_2} > \frac{y_1}{y_2} + \frac{u_1}{u_2}.

が従う。

証明: 仮定に同値記号を含む場合は定理 56 と定理 61 によって、そうでない場合は定理 64 によって片付く。

定理 66:

\frac{x_1}{x_2} \gtrsim \frac{y_1}{y_2}, \quad \frac{z_1}{z_2} \gtrsim \frac{u_1}{u_2}

から

\frac{x_1}{x_2} + \frac{z_1}{z_2} \gtrsim \frac{y_1}{y_2} + \frac{u_1}{u_2}.

が従う。

証明: 仮定に二つの同値記号を含む場合は定理 56 によって、そうでない場合は定理 65 によって片付く。

定理 67:

\frac{x_1}{x_2} > \frac{y_1}{y_2},

ならば、

\frac{y_1}{y_2} + \frac{u_1}{u_2} \sim \frac{x_1}{x_2}

は解 $\frac{u_1}{u_2}$ をもつ。 $\frac{u_1}{u_2}$ と $\frac{w_1}{w_2}$ が解ならば、

\frac{u_1}{u_2} \sim \frac{w_1}{w_2}.

である。

前注:

\frac{x_1}{x_2} \lesssim \frac{y_1}{y_2}

に対しては、定理 60 により解は存在しない。

証明: 第二の主張は定理 63 から直ちに従う。なぜなら、

\frac{y_1}{y_2} + \frac{u_1}{u_2} \sim \frac{x_1}{x_2} \sim \frac{y_1}{y_2} + \frac{w_1}{w_2}

に対しては、その定理により

\frac{u_1}{u_2} \sim \frac{w_1}{w_2}.

だからである。

$\frac{u_1}{u_2}$ の存在(第一の主張)は次のようにして得られる。

x_1 y_2 > y_1 x_2.

である。 $u$ を

x_1 y_2 = y_1 x_2 + u

から定め、

u_1 = u, \quad u_2 = x_2 y_2

とおく。このとき、

\frac{y_1}{y_2} + \frac{u_1}{u_2} \sim \frac{y_1}{y_2} + \frac{u}{x_2 y_2} \sim \frac{y_1 x_2 + u}{x_2 y_2} \sim \frac{x_1 y_2}{x_2 y_2} \sim \frac{x_1}{x_2}.

により $\frac{u_1}{u_2}$ は解である。

定義 14: 定理 67 の証明において構成された特別な $\frac{u_1}{u_2}$ を $\frac{x_1}{x_2} - \frac{y_1}{y_2}$ ( $-$ は「マイナス」と読む)、または差 $\frac{x_1}{x_2}$ マイナス $\frac{y_1}{y_2}$ 、または分数 $\frac{x_1}{x_2}$ からの分数 $\frac{y_1}{y_2}$ の減法によって得られる分数と呼ぶ。

したがって、

\frac{x_1}{x_2} \sim \frac{y_1}{y_2} + \frac{u_1}{u_2}

から

\frac{u_1}{u_2} \sim \frac{x_1}{x_2} - \frac{y_1}{y_2}.

が従う。

§ 4. 乗法

定義 15: $\frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{y_1}{y_2}$ ( $\cdot$ は「かける」と読む。ただし、この点は通常書かない)とは、分数 $\frac{x_1 y_1}{x_2 y_2}$ のことをいう。

これを $\frac{x_1}{x_2}$ と $\frac{y_1}{y_2}$ の積、または $\frac{x_1}{x_2}$ への $\frac{y_1}{y_2}$ の乗法によって得られる分数と呼ぶ。

定理 68:

\frac{x_1}{x_2} \sim \frac{y_1}{y_2}, \quad \frac{z_1}{z_2} \sim \frac{u_1}{u_2}

から

\frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{z_1}{z_2} \sim \frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{u_1}{u_2}.

が従う。

前注: したがって、積の類は「因子」の属する類のみに依存する。

証明:

x_1 y_2 = y_1 x_2, \quad z_1 u_2 = u_1 z_2,

したがって

(x_1 y_2)(z_1 u_2) = (y_1 x_2)(u_1 z_2),

(x_1 z_1)(y_2 u_2) = (y_1 u_1)(x_2 z_2).

定理 69(乗法の交換法則):

\frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{y_1}{y_2} \sim \frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{x_1}{x_2}.

証明:

\frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{y_1}{y_2} \sim \frac{x_1 y_1}{x_2 y_2} \sim \frac{y_1 x_1}{y_2 x_2} \sim \frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{x_1}{x_2}.

定理 70(乗法の結合法則):

\left(\frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{y_1}{y_2}\right) \cdot \frac{z_1}{z_2} \sim \frac{x_1}{x_2} \cdot \left(\frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{z_1}{z_2}\right).

証明:

\begin{aligned} \left(\frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{y_1}{y_2}\right) \cdot \frac{z_1}{z_2} &\sim \frac{x_1 y_1}{x_2 y_2} \cdot \frac{z_1}{z_2} \sim \frac{(x_1 y_1) z_1}{(x_2 y_2) z_2} \\ &\sim \frac{x_1(y_1 z_1)}{x_2(y_2 z_2)} \sim \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{y_1 z_1}{y_2 z_2} \sim \frac{x_1}{x_2} \cdot \left(\frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{z_1}{z_2}\right). \end{aligned}

定理 71(分配法則):

\frac{x_1}{x_2} \cdot \left(\frac{y_1}{y_2} + \frac{z_1}{z_2}\right) \sim \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{y_1}{y_2} + \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{z_1}{z_2}.

証明:

\begin{aligned} \frac{x_1}{x_2} \cdot \left(\frac{y_1}{y_2} + \frac{z_1}{z_2}\right) &\sim \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{y_1 z_2 + z_1 y_2}{y_2 z_2} \sim \frac{x_1(y_1 z_2 + z_1 y_2)}{x_2(y_2 z_2)} \\ &\sim \frac{x_1 y_1 z_2 + x_1 z_1 y_2}{x_2 y_2 z_2} \sim \frac{(x_1 y_1)(x_2 z_2) + (x_1 z_1)(x_2 y_2)}{(x_2 y_2)(x_2 z_2)} \\ &\sim \frac{x_1 y_1}{x_2 y_2} + \frac{x_1 z_1}{x_2 z_2} \sim \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{y_1}{y_2} + \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{z_1}{z_2}. \end{aligned}

定理 72:

\frac{x_1}{x_2} > \frac{y_1}{y_2} \quad\text{ないし}\quad \frac{x_1}{x_2} \sim \frac{y_1}{y_2} \quad\text{ないし}\quad \frac{x_1}{x_2} < \frac{y_1}{y_2}

から、それぞれ

\frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{z_1}{z_2} > \frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{z_1}{z_2} \quad\text{ないし}\quad \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{z_1}{z_2} \sim \frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{z_1}{z_2} \quad\text{ないし}\quad \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{z_1}{z_2} < \frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{z_1}{z_2}.

が従う。

証明: 1)

\frac{x_1}{x_2} > \frac{y_1}{y_2}

から

x_1 y_2 > y_1 x_2,

(x_1 y_2)(z_1 z_2) > (y_1 x_2)(z_1 z_2),

(x_1 z_1)(y_2 z_2) > (y_1 z_1)(x_2 z_2),

\frac{x_1 z_1}{x_2 z_2} > \frac{y_1 z_1}{y_2 z_2}.

が従う。

\frac{x_1}{x_2} \sim \frac{y_1}{y_2}

から、定理 68 により

\frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{z_1}{z_2} \sim \frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{z_1}{z_2}.

が従う。

\frac{x_1}{x_2} < \frac{y_1}{y_2}

から

\frac{y_1}{y_2} > \frac{x_1}{x_2},

が従い、したがって 1) により

\frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{z_1}{z_2} > \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{z_1}{z_2},

\frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{z_1}{z_2} < \frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{z_1}{z_2}.

定理 73:

\frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{z_1}{z_2} > \frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{z_1}{z_2} \quad\text{ないし}\quad \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{z_1}{z_2} \sim \frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{z_1}{z_2} \quad\text{ないし}\quad \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{z_1}{z_2} < \frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{z_1}{z_2}

から、それぞれ

\frac{x_1}{x_2} > \frac{y_1}{y_2} \quad\text{ないし}\quad \frac{x_1}{x_2} \sim \frac{y_1}{y_2} \quad\text{ないし}\quad \frac{x_1}{x_2} < \frac{y_1}{y_2}.

が従う。

証明: 三つの場合はどちらにおいても互いに排反であり、かつすべての可能性を尽くすから、定理 72 から従う。

定理 74:

\frac{x_1}{x_2} > \frac{y_1}{y_2}, \quad \frac{z_1}{z_2} > \frac{u_1}{u_2}

から

\frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{z_1}{z_2} > \frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{u_1}{u_2}.

が従う。

証明: 定理 72 により

\frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{z_1}{z_2} > \frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{z_1}{z_2}

であり、かつ

\frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{z_1}{z_2} \sim \frac{z_1}{z_2} \cdot \frac{y_1}{y_2} > \frac{u_1}{u_2} \cdot \frac{y_1}{y_2} \sim \frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{u_1}{u_2},

であるから、したがって

\frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{z_1}{z_2} > \frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{u_1}{u_2}.

定理 75:

\frac{x_1}{x_2} \gtrsim \frac{y_1}{y_2}, \quad \frac{z_1}{z_2} > \frac{u_1}{u_2} \quad\text{または}\quad \frac{x_1}{x_2} > \frac{y_1}{y_2}, \quad \frac{z_1}{z_2} \gtrsim \frac{u_1}{u_2}

から

\frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{z_1}{z_2} > \frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{u_1}{u_2}.

が従う。

証明: 仮定に同値記号を含む場合は定理 68 と定理 72 によって、そうでない場合は定理 74 によって片付く。

定理 76:

\frac{x_1}{x_2} \gtrsim \frac{y_1}{y_2}, \quad \frac{z_1}{z_2} \gtrsim \frac{u_1}{u_2}

から

\frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{z_1}{z_2} \gtrsim \frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{u_1}{u_2}.

が従う。

証明: 仮定に二つの同値記号を含む場合は定理 68 によって、そうでない場合は定理 75 によって片付く。

定理 77: 同値

\frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{u_1}{u_2} \sim \frac{x_1}{x_2},

( $\frac{x_1}{x_2}$ と $\frac{y_1}{y_2}$ は与えられているとする)は解 $\frac{u_1}{u_2}$ をもつ。 $\frac{u_1}{u_2}$ と $\frac{w_1}{w_2}$ が解ならば、

\frac{u_1}{u_2} \sim \frac{w_1}{w_2}.

である。

証明: 第二の主張は定理 73 から直ちに従う。なぜなら、

\frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{u_1}{u_2} \sim \frac{x_1}{x_2} \sim \frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{w_1}{w_2}

に対しては、その定理により

\frac{u_1}{u_2} \sim \frac{w_1}{w_2}.

だからである。

$\frac{u_1}{u_2}$ の存在(第一の主張)は次のようにして得られる。

u_1 = x_1 y_2, \quad u_2 = x_2 y_1

に対して、

\frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{u_1}{u_2} \sim \frac{y_1}{y_2} \cdot \frac{x_1 y_2}{x_2 y_1} \sim \frac{y_1(x_1 y_2)}{y_2(x_2 y_1)} \sim \frac{x_1(y_1 y_2)}{x_2(y_1 y_2)} \sim \frac{x_1}{x_2}.

により $\frac{u_1}{u_2}$ は解である。

§ 5. 有理数と整数

定義 16: 有理数とは、ある固定した分数に同値なすべての分数の集合(すなわち § 1 の意味での類)をいう。

ラテン大文字は、特に断らない限り、つねに有理数を表すものとする。

定義 17:

X = Y

( $=$ 読み方:等しい)とは、両方の集合が同じ分数を含むことをいう。そうでない場合は

X \neq Y

( $\neq$ 読み方:等しくない)とする。

次の三つの定理は自明である:

定理 78: $X = X$ 。

定理 79:

X = Y

から

Y = X.

が従う。

定理 80:

X = Y, \quad Y = Z

から

X = Z.

が従う。

定義 18:

X > Y

( $>$ 読み方:より大きい)とは、集合 $X$ および $Y$ からのある一つの(したがって定理 44 によりそれぞれ任意の)分数 $\frac{x_1}{x_2}$ および $\frac{y_1}{y_2}$ に対して

\frac{x_1}{x_2} > \frac{y_1}{y_2}

が成り立つことをいう。

定義 19:

X < Y

( $<$ 読み方:より小さい)とは、集合 $X$ および $Y$ からのある一つの(したがって定理 45 によりそれぞれ任意の)分数 $\frac{x_1}{x_2}$ および $\frac{y_1}{y_2}$ に対して

\frac{x_1}{x_2} < \frac{y_1}{y_2}

が成り立つことをいう。

定理 81: $X$ , $Y$ を任意とすると、

X = Y, \quad X > Y, \quad X < Y

のうちちょうど一つの場合が成り立つ。

証明: 定理 41。

定理 82:

X > Y

から

Y < X.

が従う。

証明: 定理 42。

定理 83:

X < Y

から

Y > X.

が従う。

証明: 定理 43。

定義 20:

X \geqq Y

は

X > Y \quad\text{または}\quad X = Y.

を意味する。

( $\geqq$ 読み方:より大きいか等しい。)

定義 21:

X \leqq Y

は

X < Y \quad\text{または}\quad X = Y.

を意味する。

( $\leqq$ 読み方:より小さいか等しい。)

定理 84:

X \geqq Y

から

Y \leqq X.

が従う。

証明: 定理 48。

定理 85:

X \leqq Y

から

Y \geqq X.

が従う。

証明: 定理 49。

定理 86(順序の推移律):

X < Y, \quad Y < Z

から

X < Z.

が従う。

証明: 定理 50。

定理 87:

X \leqq Y, \quad Y < Z \quad\text{または}\quad X < Y, \quad Y \leqq Z

から

X < Z.

が従う。

証明: 定理 51。

定理 88:

X \leqq Y, \quad Y \leqq Z

から

X \leqq Z.

が従う。

証明: 定理 52。

定理 89: $X$ に対して

Z > X.

なる $Z$ が存在する。

証明: 定理 53。

定理 90: $X$ に対して

Z < X.

なる $Z$ が存在する。

証明: 定理 54。

定理 91:

X < Y,

ならば、

X < Z < Y.

なる $Z$ が存在する。

証明: 定理 55。

定義 22: $X + Y$ ( $+$ 読み方:プラス)とは、 $X$ からの分数と $Y$ からの分数とのある一つの(したがって定理 56 により任意の)和が属する類をいう。

この有理数を $X$ と $Y$ の和、または $X$ に $Y$ を加法して得られる有理数と呼ぶ。

定理 92(加法の交換法則):

X + Y = Y + X.

証明: 定理 58。

定理 93(加法の結合法則):

(X + Y) + Z = X + (Y + Z).

証明: 定理 59。

定理 94:

X + Y > X.

証明: 定理 60。

定理 95:

X > Y

から

X + Z > Y + Z.

が従う。

証明: 定理 61。

定理 96:

X > Y \quad\text{ないし}\quad X = Y \quad\text{ないし}\quad X < Y

から、それぞれ

X + Z > Y + Z \quad\text{ないし}\quad X + Z = Y + Z \quad\text{ないし}\quad X + Z < Y + Z.

が従う。

証明: 定理 62。

定理 97:

X + Z > Y + Z \quad\text{ないし}\quad X + Z = Y + Z \quad\text{ないし}\quad X + Z < Y + Z

から、それぞれ

X > Y \quad\text{ないし}\quad X = Y \quad\text{ないし}\quad X < Y.

が従う。

証明: 定理 63。

定理 98:

X > Y, \quad Z > U

から

X + Z > Y + U.

が従う。

証明: 定理 64。

定理 99:

X > Y, \quad Z = U \quad\text{または}\quad X = Y, \quad Z > U

から

X + Z > Y + U.

が従う。

証明: 定理 65。

定理 100:

X \geqq Y, \quad Z \geqq U

から

X + Z \geqq Y + U.

が従う。

証明: 定理 66。

定理 101:

X > Y,

ならば、

Y + U = X

はちょうど一つの解 $U$ を持つ。

前注:

X \leqq Y

の場合には、定理 94 により解は存在しない。

証明: 定理 67。

定義 23: この $U$ を $X - Y$ ( $-$ 読み方:マイナス)、または差 $X$ マイナス $Y$ 、または有理数 $X$ から有理数 $Y$ を減法して得られる有理数と呼ぶ。

定義 24: $X \cdot Y$ ( $\cdot$ 読み方:掛ける;ただし点はふつう書かない)とは、 $X$ からの分数と $Y$ からの分数とのある一つの(したがって定理 68 により任意の)積が属する類をいう。

この有理数を $X$ と $Y$ の積、または $X$ に $Y$ を乗法して得られる有理数と呼ぶ。

定理 102(乗法の交換法則):

X Y = Y X.

証明: 定理 69。

定理 103(乗法の結合法則):

(X Y) Z = X (Y Z).

証明: 定理 70。

定理 104(分配法則):

X(Y + Z) = X Y + X Z.

証明: 定理 71。

定理 105:

X > Y \quad\text{ないし}\quad X = Y \quad\text{ないし}\quad X < Y

から、それぞれ

X Z > Y Z \quad\text{ないし}\quad X Z = Y Z \quad\text{ないし}\quad X Z < Y Z.

が従う。

証明: 定理 72。

定理 106:

X Z > Y Z \quad\text{ないし}\quad X Z = Y Z \quad\text{ないし}\quad X Z < Y Z

から、それぞれ

X > Y \quad\text{ないし}\quad X = Y \quad\text{ないし}\quad X < Y.

が従う。

証明: 定理 73。

定理 107:

X > Y, \quad Z > U

から

X Z > Y U.

が従う。

証明: 定理 74。

定理 108:

X > Y, \quad Z = U \quad\text{または}\quad X = Y, \quad Z > U

から

X Z > Y U.

が従う。

証明: 定理 75。

定理 109:

X \geqq Y, \quad Z \geqq U

から

X Z \geqq Y U.

が従う。

証明: 定理 76。

定理 110: $X$ と $Y$ が与えられているとき、方程式

Y U = X,

はちょうど一つの解 $U$ を持つ。

証明: 定理 77。

定理 111:

\frac{x}{1} > \frac{y}{1} \quad\text{ないし}\quad \frac{x}{1} \sim \frac{y}{1} \quad\text{ないし}\quad \frac{x}{1} < \frac{y}{1}

から、それぞれ

x > y \quad\text{ないし}\quad x = y \quad\text{ないし}\quad x < y

が従い、また逆も成り立つ。

証明:

x \cdot 1 > y \cdot 1 \quad\text{ないし}\quad x \cdot 1 = y \cdot 1 \quad\text{ないし}\quad x \cdot 1 < y \cdot 1

は、それぞれ

x > y \quad\text{ないし}\quad x = y \quad\text{ないし}\quad x < y.

と同じことを意味する。

定義 25: ある有理数は、それがその全体であるところの分数のうちに $\frac{x}{1}$ の形の分数が現れるとき、整であるという。

この $x$ は定理 111 により一意に定まり、逆に各 $x$ にはちょうど一つの整数が対応する。

定理 112:

\frac{x}{1} + \frac{y}{1} \sim \frac{x + y}{1},

\frac{x}{1} \cdot \frac{y}{1} \sim \frac{x y}{1}.

前注: したがって二つの整数の和と積は整数である。

証明: 1) 定理 57 により

\frac{x}{1} + \frac{y}{1} \sim \frac{x + y}{1}.

定義 15 により

\frac{x}{1} \cdot \frac{y}{1} \sim \frac{x y}{1 \cdot 1} \sim \frac{x y}{1}.

定理 113: 整数は、 $1$ の代わりに $\frac{1}{1}$ の類をとり、 $\frac{x}{1}$ の類の後続者として $\frac{x'}{1}$ の類をとるならば、自然数の五つの公理を満たす。

証明: $Q$ を整数の集合とする。

$\frac{1}{1}$ の類は $Q$ に属する。
各整数に対して、後続者を一意に定めた。
それはつねに $\frac{1}{1}$ の類とは異なる。なぜなら、つねに

x' \neq 1.

だからである。

$\frac{x'}{1}$ の類と $\frac{y'}{1}$ の類が一致するならば、

x' = y',

x = y,

であり、 $\frac{x}{1}$ の類と $\frac{y}{1}$ の類は一致する。

整数のある集合 $\mathfrak{M}$ が次の性質を持つとする:

I) $\frac{1}{1}$ の類は $\mathfrak{M}$ に属する。

II) $\frac{x}{1}$ の類が $\mathfrak{M}$ に属するならば、 $\frac{x'}{1}$ の類も $\mathfrak{M}$ に属する。

このとき、 $\frac{x}{1}$ の類が $\mathfrak{M}$ に属するような $x$ の集合を $\mathfrak{N}$ で表す。すると $1$ は $\mathfrak{N}$ に属し、 $\mathfrak{N}$ の各 $x$ とともに $x'$ も $\mathfrak{N}$ に属する。ゆえにすべての自然数は $\mathfrak{N}$ に属し、したがってすべての整数は $\mathfrak{M}$ に属する。

$=$ , $>$ , $<$ 、和および積は(定理 111 と 112 により)旧来の概念に対応するから、整数は、我々が第1章で自然数について証明したすべての性質を持つ。

それゆえ我々は自然数を捨て去り、それを対応する整数で置き換え、以後は(分数もまた不要となるので)これまでのことに関しては有理数についてのみ語ることにする。(自然数は分数の概念のうちに線の上と下に対をなして残り、分数は有理数と呼ばれる集合の個体として残る。)

定義 26: (自由になった記号) $x$ は、 $\frac{x}{1}$ の類によって与えられる整数を表す。

したがって我々の新しい言葉では、例えば

x \cdot 1 = x;

である。なぜなら

\frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{1}{1} \sim \frac{x_1 \cdot 1}{x_2 \cdot 1} \sim \frac{x_1}{x_2}.

だからである。

定理 114: $Z$ が分数 $\frac{x}{y}$ に属する有理数ならば、

y Z = x.

である。

証明:

\frac{y}{1} \cdot \frac{x}{y} \sim \frac{y x}{1 \cdot y} \sim \frac{x y}{1 \cdot y} \sim \frac{x}{1}.

定義 27: 定理 110 の $U$ を $X$ の $Y$ による商、または $X$ を $Y$ で除法して得られる有理数と呼ぶ。これを $\frac{X}{Y}$ で表す(読み方: $X$ 割る $Y$ )。

$X$ と $Y$ が整数、すなわち $X = x$ , $Y = y$ ならば、定義 26 と 27 によって定められた有理数 $\frac{x}{y}$ は、定理 114 により、旧来の意味での分数 $\frac{x}{y}$ が属する類を意味する。

両方の記号 $\frac{x}{y}$ の混同を恐れる必要はない。というのは、今後分数が単独で現れることはもはやないからである。以後 $\frac{x}{y}$ はつねに有理数を表す。逆に、すべての有理数は、定理 114 と定義 27 に基づいて、 $\frac{x}{y}$ の形に表すことができる。

定理 115: $X$ と $Y$ が与えられているとき、

z X > Y.

なる $z$ が存在する。

証明: $\frac{Y}{X}$ は有理数である。定理 89 により(我々の新しい言葉で)

\frac{z}{v} > \frac{Y}{X}.

なる整数 $z$ , $v$ が存在する。

定理 111 により

ゆえに定理 105 により

第2章 分数

§ 1. 定義と同値

§ 2. 順序

§ 3. 加法

§ 4. 乗法

§ 5. 有理数と整数

第2章分数